Verdadeiro ou falso? O gráfico de f(x)=x^{3} -x^{2}-2 cruza o eixo horizontal x entre x=1 e x=2. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o gráfico da função
f(x)=x^{3}-x^{2}-2
cruza o eixo x entre x=1 e x=2. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua num intervalo e assume valores de sinais opostos nas extremidades, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=1:
f(1)=1^{3}-1^{2}-2=1-1-2=-2.
Logo f(1)=-2<0.

Passo 3

Calculamos o valor de f em x=2:
f(2)=2^{3}-2^{2}-2=8-4-2=2.
Logo f(2)=2>0.

Passo 4

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R}. Temos f(1)<0 e f(2)>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0. Portanto o gráfico cruza o eixo x nesse intervalo.

Resposta

Verdadeiro.

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