Verifique se a equação dada representa uma circunferência. Em caso afirmativo, determine seus raio e centro.
(x{2}+y{2}-3 y=7 / 4).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2 + y^2 - 3y = 74
e pede para verificar se ela representa uma circunferência. O conteúdo aqui é identificação de circunferência na forma geral e uso de completamento de quadrado para passar à forma padrão
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y:
x^2 + l(y^2 - 3yr) = 74
Note que o termo em x já está completo ( x^2 = (x-0)^2), mas em y falta completar o quadrado.

Passo 3

Para completar o quadrado em y, tomamos metade do coeficiente de y, que é -3, ou seja -tfrac32, e elevamos ao quadrado, obtendo l(tfrac32r)^2 = tfrac94. Então adicionamos tfrac94 em ambos os lados da equação:
x^2 + l(y^2 - 3y + tfrac94r) = 74 + 94

Passo 4

O binômio em y fica um quadrado perfeito, e o lado direito se soma:
x^2 + l(y - tfrac32r)^2 = 164 = 4
Essa é exatamente a forma padrão de uma circunferência com centro (x0,y0)=(0,tfrac32) e raio r=raiz4=2.

Resposta

O gráfico é uma circunferência de centro l(0,tfrac32r) e raio 2.

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