Calcule as derivadas parciais primeiras da função indicada.
G(p, q, r, s)=(p^2 q^3)^r / s^s

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeiras de
G(p,q,r,s) = l(p^2 q^3r)^rs^s,
que é uma função de quatro variáveis. Para resolver, vamos usar a técnica de diferenciação logarítmica em várias variáveis e a regra da cadeia:
partial Gpartial x = G ,partialpartial xl(ln Gr)

Passo 2

Calculamos primeiro o logaritmo natural de G. Como
lnl(p^2 q^3r) = 2ln p + 3ln q
e o expoente é tfracrs^s, temos
ln G = rs^s,l(2ln p + 3ln qr)

Passo 3

Derivadas parciais em p e q.
Usando
tfracpartial Gpartial x=G,tfracpartial(ln G)partial x,
temos para p:
partialpartial pl(ln Gr) = rs^scdot partialpartial p(2ln p) = 2rp,s^s,
portanto
partial Gpartial p = G ,2rp,s^s
Analogamente, para q:
partialpartial ql(ln Gr) = rs^scdot partialpartial q(3ln q) = 3rq,s^s,
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partial Gpartial q = G ,3rq,s^s

Passo 4

Derivada parcial em r.
Como ln G = tfracrs^s(2ln p+3ln q), ao derivar em relação a r obtemos
partialpartial rl(ln Gr) = 1s^s,l(2ln p + 3ln qr),
portanto
partial Gpartial r = G ,2ln p + 3ln qs^s

Passo 5

Derivada parcial em s.
Temos ln G = rL,s^-s, onde L = 2ln p+3ln q. Note que
s^-s = e^-sln s, ddsl(s^-sr) = s^-sl(-ln s -1r)
Assim
partialpartial sl(ln Gr) = rLcdot s^-sl(-ln s -1r) = -r,(2ln p+3ln q)s^s,(ln s +1),
e então
partial Gpartial s = G;gl[-r,(2ln p+3ln q)s^s,(ln s +1)gr]

Resposta

partial Gpartial p = G ,2rp,s^s, partial Gpartial q = G ,3rq,s^s,
partial Gpartial r = G ,2ln p + 3ln qs^s, partial Gpartial s = -,G ,r,(2ln p+3ln q)s^s,(ln s +1)

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