Verifique, por meio das tabelas-verdades, a validade das equivalências abaixo. em que p, q e r são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f uma proposição logicamente falsa.
da conjunção relativamente à disjunção
& p wed>=(q vee r) Leftrightarrow(p wed>= q) vee(p wed>= r) & p vee(q wed>= r) Leftrightarrow(p vee q) wed>=(p vee r) & p wed>=(p vee q) Leftrightarrow p & p vee(p wed>= q) Leftrightarrow p

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando tabelas-verdade, quatro equivalências lógicas envolvendo as operações de conjunção ( wed>=), disjunção ( vee) e as proposições p,q,r. O conteúdo é a prova de equivalências usuais: as leis distributivas e as leis de absorção.

Passo 2

Verificamos pwed>=(qvee r)Leftrightarrow (pwed>= q)vee (pwed>= r) por análise de casos em vez de listar as 8 linhas:
  1. Se p=F, então
    ;pwed>=(qvee r)=Fwed>=(dots)=F e
    (pwed>= q)vee(pwed>= r)=(Fwed>= q)vee(Fwed>= r)=Fvee F=F
  2. Se p=V, então
    ;pwed>=(qvee r)=Vwed>=(qvee r)=qvee r e
    (pwed>= q)vee(pwed>= r)=(Vwed>= q)vee(Vwed>= r)=qvee r
    Em ambos os casos as duas fórmulas coincidem.
    Conclusão: a primeira equivalência é válida (é tautologia).

Passo 3

Verificamos pvee(qwed>= r)Leftrightarrow (pvee q)wed>=(pvee r) por casos:
  1. Se p=V, então
    ;pvee(qwed>= r)=Vvee(dots)=V e
    (pvee q)wed>=(pvee r)=(Vvee q)wed>=(Vvee r)=Vwed>=V=V
  2. Se p=F, então
    ;pvee(qwed>= r)=Fvee(qwed>= r)=qwed>= r e
    (pvee q)wed>=(pvee r)=(Fvee q)wed>=(Fvee r)=qwed>= r
    De novo, há coincidência em todos os casos.
    Conclusão: a segunda equivalência é válida (é tautologia).

Passo 4

Verificamos pwed>=(pvee q)Leftrightarrow p por casos:
  1. Se p=F, então
    ;pwed>=(pvee q)=Fwed>=(Fvee q)=F e o lado direito é F.
  2. Se p=V, então
    ;pwed>=(pvee q)=Vwed>=(Vvee q)=Vwed>= V=V e o lado direito é V.
    Conclusão: a terceira equivalência (absorção) é válida.

Passo 5

Verificamos pvee(pwed>= q)Leftrightarrow p por casos:
  1. Se p=V, então
    ;pvee(pwed>= q)=Vvee(Vwed>= q)=Vvee dots=V e o lado direito é V.
  2. Se p=F, então
    ;pvee(pwed>= q)=Fvee(Fwed>= q)=Fvee F=F e o lado direito é F.
    Conclusão: a quarta equivalência (absorção) também é válida.

Resposta

Todas as quatro equivalências são válidas (são tautologias).

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