Verifique a regra de Ruffini: O resto da divisão de P(x) por x-c é P(c).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a regra de Ruffini, que afirma que o resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio de primeiro grau x - c é exatamente o valor P(c). O conteúdo envolvido é o algoritmo da divisão de polinômios e a propriedade de que, ao dividir por um polinômio de grau 1, o resto é uma constante. Para resolver, usamos o teorema do resto e avaliamos a relação resultante em x=c.

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão de polinômios, existem um quociente Q(x) e um resto R(x) tais que
P(x) = (x - c),Q(x) + R(x),
com deg R(x) < deg (x - c) = 1. Logo, R(x) é um polinômio de grau zero, isto é, uma constante que chamaremos de R. Assim podemos escrever
P(x) = (x - c),Q(x) + R

Passo 3

Basta agora avaliar essa expressão em x = c. Substituindo, obtemos
P(c) = (c - c),Q(c) + R = 0 cdot Q(c) + R = R
Portanto o resto R da divisão de P(x) por x - c coincide com P(c).

Resposta

O resto da divisão de P(x) por x - c é P(c), conforme enunciado.

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