13.4.7 Verifique a representação integral
Quais restrições devem ser impostas aos parâmetros
e
e à variável
?
Nota: A restrição sobre
pode ser descartada, continuação-analítica. Para
não-inteiro, o eixo real no plano
de a
é uma linha de corte.
Sugestão: A integral tem uma semelhança com uma função beta e pode ser expandida em uma série de funções beta.
Nota: A restrição sobre
Sugestão: A integral tem uma semelhança com uma função beta e pode ser expandida em uma série de funções beta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a representação integral
e determinar as condições sobre
,
e
. Vamos usar a expansão em série de
e a definição da função Beta
Passo 2
Expandimos o fator
em série de potências de
, válida quando
:
Passo 3
Substituímos essa série no integrando e, sob condições adequadas de convergência, trocamos soma e integral:
Passo 4
O integral interno é uma função Beta com argumentos
e
:
Passo 5
Multiplicando pelo fator exterior
obtemos
que é exatamente a série de
.
Passo 6
Para que tudo seja válido, precisamos de:
- Re
para convergência em . - Re
para convergência em . -
para garantir e a troca série–integral.
Em conjunto, ReRe e .
Resposta
As restrições são