13.4.7 Verifique a representação integral
{ }_{2} F_{1}(a, b ; c ; z)=\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b) \Gamma(c-b)} \int_{0}^{1} t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-t z)^{-a} d t
Quais restrições devem ser impostas aos parâmetros b e c e à variável z ?
Nota: A restrição sobre |z| pode ser descartada, continuação-analítica. Para a não-inteiro, o eixo real no plano z de a \infty é uma linha de corte.
Sugestão: A integral tem uma semelhança com uma função beta e pode ser expandida em uma série de funções beta.
\text { Resposta: } \Re\text{(c)}>\Re(b)>0, \text { e }|z|<1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a representação integral
{}_{2}F_{1}(a,b;c;z) =\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1}t^{b-1}\,(1-t)^{\,c-b-1}\,(1-zt)^{-a}\,dt
e determinar as condições sobre b, c e z. Vamos usar a expansão em série de (1-zt)^{-a} e a definição da função Beta
B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt =\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

Passo 2

Expandimos o fator (1-zt)^{-a} em série de potências de t, válida quando |zt|<1:
(1-zt)^{-a} =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-a}{k}(-zt)^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_{k}}{k!}\,z^{k}\,t^{k}.

Passo 3

Substituímos essa série no integrando e, sob condições adequadas de convergência, trocamos soma e integral:
\int_{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}dt =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_{k}}{k!}z^{k} \int_{0}^{1}t^{b+k-1}(1-t)^{c-b-1}dt.

Passo 4

O integral interno é uma função Beta com argumentos b+k e c-b:
\int_{0}^{1}t^{b+k-1}(1-t)^{c-b-1}dt =B(b+k,\;c-b) =\frac{\Gamma(b+k)\,\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator exterior \Gamma\text{(c)}/(\Gamma(b)\Gamma(c-b)) obtemos
\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_{k}}{k!}z^{k} \frac{\Gamma(b+k)\,\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_{k}\,(b)_{k}}{\text{(c)}_{k}}\frac{z^{k}}{k!},
que é exatamente a série de {}_{2}F_{1}(a,b;c;z).

Passo 6

Para que tudo seja válido, precisamos de:
  1. Re \,(b)>0 para convergência em t=0.
  2. Re \,c-b>0 para convergência em t=1.
  3. |z|<1 para garantir |zt|<1 e a troca série–integral.
    Em conjunto, Re \,c>Re \,b>0 e |z|<1.

Resposta

As restrições são
\Re\text{(c)}>\Re(b)>0, \quad |z|<1.

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