13.4.10 Verifique que
Sugestão: Esta é uma chance de usar a relação de função contígua
.
e indução matemática. Como alternativa, use a representação integral e a função beta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
,
onde
é o símbolo de Pochhammer.
O conteúdo aqui é a função hipergeométrica de Gauss e a representação integral de Euler para ela.
O conteúdo aqui é a função hipergeométrica de Gauss e a representação integral de Euler para ela.
Passo 2
Relembramos a representação de Euler válida quando
:
Passo 3
Tomamos
(inteiro não– negativo) e
. Então
e
Passo 4
O integral acima é a integral Beta:
Substituindo de volta,
Passo 5
Reconhecendo Pochhammer,
e
, obtemos