13.4.10 Verifique que
{ }_{2} F_{1}(-n, b ; c ; 1)=\frac{(c-b)_{n}}{\text{(c)}_{n}}
Sugestão: Esta é uma chance de usar a relação de função contígua [2 a-c+(b-a) x]. { }_{2} F_{1}(a, b ; c ; x)=a(1-x){ }_{2} F_{1}(a+1, b ; c ; x)-(c-a){ }_{2} F_{1}(a-1, b ; c ; x) e indução matemática. Como alternativa, use a representação integral e a função beta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge0,
{}_{2}F_{1}(-n,b;c;1)\;=\;\frac{(c-b)_{n}}{\text{(c)}_{n}},
onde (a)_{n}=\Gamma(a+n)/\Gamma(a) é o símbolo de Pochhammer.
O conteúdo aqui é a função hipergeométrica de Gauss e a representação integral de Euler para ela.

Passo 2

Relembramos a representação de Euler válida quando \Re\text{(c)}>\Re(b)>0:
{}_{2}F_{1}(a,b;c;x) =\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1}t^{\,b-1}\,(1-t)^{\,c-b-1}\,(1 - x\,t)^{-a}\,dt.

Passo 3

Tomamos a=-n (inteiro não– negativo) e x=1. Então (1 - t)^{-a}=(1-t)^{n} e
{}_{2}F_{1}(-n,b;c;1) =\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1}t^{\,b-1}\,(1-t)^{\,c-b-1}\,(1-t)^{n}\,dt =\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1}t^{\,b-1}\,(1-t)^{\,c-b+n-1}\,dt.

Passo 4

O integral acima é a integral Beta:
\int_{0}^{1}t^{\,b-1}\,(1-t)^{\,c-b+n-1}\,dt = B\bigl(b,\;c-b+n\bigr) =\frac{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)}.
Substituindo de volta,
{}_{2}F_{1}(-n,b;c;1) =\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b)}\, \frac{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)} =\frac{\Gamma\text{(c)}\,\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c-b)\,\Gamma(c+n)}.

Passo 5

Reconhecendo Pochhammer, (c-b)_{n}=\Gamma(c-b+n)/\Gamma(c-b) e \text{(c)}_{n}=\Gamma(c+n)/\Gamma\text{(c)}, obtemos
{}_{2}F_{1}(-n,b;c;1) =\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(c+n)}\;\frac{\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c-b)} =\frac{(c-b)_{n}}{\text{(c)}_{n}}.

Resposta

{}_{2}F_{1}(-n,b;c;1)=\frac{(c-b)_{n}}{\text{(c)}_{n}}.

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