Transforme os seguintes polinômios em funções hipergeométricas de argumento x^{2}.
(d) x^{-1} U_{2 n+1}(x)

Passo 1

O enunciado pede para escrever
x^{-1}U_{2n+1}(x)
como uma função hipergeométrica de argumento x^2.
O conteúdo envolvido é a série de potências dos polinômios de Chebyshev do 2.º tipo e a definição da função hipergeométrica _2F_1(a,b;c;z) via Pochhammer.

Passo 2

Recordamos a expressão em série de potências de U_{2n+1}(x):
U_{2n+1}(x) =\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{2n+1-k}{k}\,2^{\,2n+1-2k}\,x^{\,2n+1-2k}.
Dividindo por x e mudando o índice por m=n-k, obtemos
x^{-1}U_{2n+1}(x) =\sum_{m=0}^{n}(-1)^{\,n-m}\binom{n+m+1}{n-m}\,2^{\,2m+1}\,x^{2m}.

Passo 3

Note que podemos escrever
x^{-1}U_{2n+1}(x) =2(-1)^n\sum_{m=0}^n(-1)^m\frac{(n+m+1)!}{(n-m)!\,(2m+1)!}\,(4\,x^2)^m.

Passo 4

Por outro lado, a definição em série da função hipergeométrica
_2F_1(-n,n+2;\tfrac32;z) é
_2F_1(-n,n+2;\tfrac32;z) =\sum_{m=0}^n\frac{(-n)_m\,(n+2)_m}{\bigl(\tfrac32\bigr)_m\,m!}\,z^m.
Usando
(-n)_m=\frac{(-1)^m\,n!}{(n-m)!}, \quad (n+2)_m=\frac{(n+m+1)!}{(n+1)!}, \quad m!\,\Bigl(\tfrac32\Bigr)_m=\frac{(2m+1)!}{4^m},
vemos que o coeficiente de z^m em _2F_1 é
(-1)^m\frac{n!\,(n+m+1)!}{(n-m)!\,(n+1)!\,(2m+1)!}4^m.

Passo 5

Comparando as duas séries (para z=x^2), concluímos que basta multiplicar
_2F_1(-n,n+2;\tfrac32;x^2) por
2(-1)^n\,(n+1)
para obter exatamente o desenvolvimento de
x^{-1}U_{2n+1}(x).

Resposta

x^{-1}U_{2n+1}(x) =2(-1)^n\,(n+1)\;{}_2F_1\!\Bigl(-n,\;n+2;\;\tfrac32;\;x^2\Bigr).

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