Transforme os seguintes polinômios em funções hipergeométricas de argumento x^{2}.
(a) T_{2 n}(x)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio de Chebyshev de primeira espécie de grau 2n, que é
T_{2n}(x)=\cos\bigl(2n\operatorname{arccos} x\bigr),
na forma de uma função hipergeométrica de argumento x^2. Vamos usar a definição da série hipergeométrica de Gauss
{}_2F_1(a,b;c;z)\;=\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_k\,(b)_k}{\text{(c)}_k\,k!}\;z^k
e uma identidade que relaciona essa série ao cosseno de múltiplos de um ângulo.

Passo 2

Mostramos que, para inteiro não-negativo n,
{}_2F_1\bigl(-n,n;\tfrac12;z\bigr) =\sum_{k=0}^{n}\frac{(-n)_k\,(n)_k}{\bigl(\tfrac12\bigr)_k\,k!}\;z^k
satisfaz
{}_2F_1\bigl(-n,n;\tfrac12;z\bigr) =\cos\bigl(2n\arcsin\sqrt{z}\bigr).
De fato, verificando termo a termo na série, esse {}_2F_1 reproduz a expansão em potências de \sin^{2}\theta de \cos(2n\theta), com \theta=\arcsin\sqrt{z}.

Passo 3

Agora escolhemos z=x^2. Então
\cos\bigl(2n\arcsin x\bigr) ={}_2F_1\bigl(-n,n;\tfrac12;x^2\bigr).
Por outro lado
T_{2n}(x)=\cos\bigl(2n\operatorname{arccos} x\bigr) =\cos\bigl(2n(\tfrac\pi2-\arcsin x)\bigr) =(-1)^n\cos\bigl(2n\arcsin x\bigr).
Combinando, obtemos
T_{2n}(x) =(-1)^n\;{}_2F_1\bigl(-n,n;\tfrac12;x^2\bigr).

Resposta

T_{2n}(x) =(-1)^n\;{}_2F_1\!\bigl(-n,n;\tfrac12; x^2\bigr).

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