Transforme os seguintes polinômios em funções hipergeométricas de argumento x^{2}.
(c) U_{2 n}(x)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinómio de Chebyshev de segunda espécie de índice 2n,
U_{2n}(x),
como uma função hipergeométrica de argumento x^2.
Vamos usar a fórmula de expansão em soma finita
U_{m}(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor m/2\rfloor}(-1)^k\binom{m-k}{k}(2x)^{\,m-2k},
especializando-a em m=2n, e em seguida reconhecer essa soma como um {}_2F_1.

Passo 2

Para m=2n temos
U_{2n}(x) =\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{2n-k}{k}\bigl(2x\bigr)^{2n-2k}.
Fazendo a mudança de índice j=n-k, isto é k=n-j, a soma fica em potências de x^{2j}:
U_{2n}(x) =\sum_{j=0}^{n}(-1)^{\,n-j}\binom{n+j}{n-j}2^{2j}x^{2j} =\;(-1)^n\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom{n+j}{n-j}2^{2j}x^{2j}.

Passo 3

Escrevemos o coeficiente
\displaystyle\binom{n+j}{n-j}2^{2j}
em termos de produtos de Pochhammer. Note que
(-n)_j=( -1)^j\frac{n!}{(n-j)!}, \quad (n+1)_j=\frac{(n+j)!}{n!}, \quad (2j)!=2^{2j}(1/2)_j\,j!.
Com isso
\binom{n+j}{n-j}2^{2j} =\frac{(n+j)!}{(n-j)!\,(2j)!}\,2^{2j} =\frac{(-n)_j\,(n+1)_j}{(1/2)_j\,j!}.
Logo a soma torna-se
U_{2n}(x) =(-1)^n\sum_{j=0}^{n} \frac{(-n)_j\,(n+1)_j}{(1/2)_j\,j!}\,(x^2)^j.

Passo 4

Pela definição de hipergeométrica
{}_2F_1\!\bigl(-n,n+1;{\tfrac12};\,z\bigr) =\sum_{j=0}^{n} \frac{(-n)_j\,(n+1)_j}{\bigl(\tfrac12\bigr)_j\,j!}\;z^j,
vemos que, para z=x^2, a soma acima é exatamente {}_2F_1(-n,n+1;\tfrac12;x^2). Portanto
U_{2n}(x) =(-1)^n\;{}_2F_1\!\Bigl(-n,n+1;\tfrac12;\,x^2\Bigr).

Resposta

U_{2n}(x) =(-1)^n\;{}_2F_1\!\Bigl(-n,n+1;\tfrac12;\,x^2\Bigr).

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