(a) Verifique o Teorema dos Quatro Quadrados para todos os inteiros de 1 a 50.
(b) Todo primo exceto 2 (isto é, todo primo ímpar) é da forma
ou
. Para os inteiros de 1 a 50, verifique que todo primo do primeiro tipo pode ser expresso como soma de dois quadrados e que isto não ocorre com nenhum primo do segundo tipo.
(b) Todo primo exceto 2 (isto é, todo primo ímpar) é da forma
Passo 1
O enunciado pede duas verificações para os inteiros de 1 a 50:
(a) mostrar que cada inteiro pode ser escrito como soma de quatro quadrados (Teorema de Lagrange);
(b) listar os primos em , separar os da forma
e
, e verificar que só os do tipo
são soma de dois quadrados (Teorema de Fermat para soma de dois quadrados).
(a) mostrar que cada inteiro pode ser escrito como soma de quatro quadrados (Teorema de Lagrange);
(b) listar os primos em
Passo 2
Para (a) usamos um procedimento “ganancioso”: dado
, escolhemos o maior quadrado
, subtraímos para obter
e repetimos até acumular quatro quadrados (permitindo zeros). Isso garante uma decomposição em no máximo quatro termos.
Passo 3
Abaixo estão as decomposições de todos os inteiros de 1 a 50 em quatro quadrados (com zeros permitidos).
Passo 4
Agora em (b) consideramos os primos em
:
Dividimos em
,
.
Pelos quadrados módulo 4, um inteiro é soma de dois quadrados se e só se não é congruente a
. Assim só os de tipo
têm representação. Confira explicitamente:
Não existe solução inteira para nenhum primo
porque então teríamos
, o que é impossível (
).
Resposta
(a) Todos os inteiros de 1 a 50 têm pelo menos uma decomposição em soma de quatro quadrados conforme listado acima, confirmando o Teorema de Lagrange.
(b) Os primos em
são
(b) Os primos
e de fato cada um admite a escrita como soma de dois quadrados; já os primos
não admitem tal representação.