(a) Verifique o Teorema dos Quatro Quadrados para todos os inteiros de 1 a 50.
(b) Todo primo exceto 2 (isto é, todo primo ímpar) é da forma 4 n+1 ou 4 n+3. Para os inteiros de 1 a 50, verifique que todo primo do primeiro tipo pode ser expresso como soma de dois quadrados e que isto não ocorre com nenhum primo do segundo tipo.

Passo 1

O enunciado pede duas verificações para os inteiros de 1 a 50:
(a) mostrar que cada inteiro pode ser escrito como soma de quatro quadrados (Teorema de Lagrange);
(b) listar os primos em 1,dots,50, separar os da forma 4n+1 e 4n+3, e verificar que só os do tipo 4n+1 são soma de dois quadrados (Teorema de Fermat para soma de dois quadrados).

Passo 2

Para (a) usamos um procedimento “ganancioso”: dado n, escolhemos o maior quadrado a^2<= n, subtraímos para obter r=n-a^2 e repetimos até acumular quatro quadrados (permitindo zeros). Isso garante uma decomposição em no máximo quatro termos.

Passo 3

Abaixo estão as decomposições de todos os inteiros de 1 a 50 em quatro quadrados (com zeros permitidos).
1 &=1^2+0^2+0^2+0^2, 2 =1^2+1^2+0^2+0^2, 3 =1^2+1^2+1^2+0^2, 4 =2^2+0^2+0^2+0^2, 5 &=2^2+1^2+0^2+0^2, 6 =2^2+1^2+1^2+0^2, 7 =2^2+1^2+1^2+1^2, 8 =2^2+2^2+0^2+0^2, 9 &=3^2+0^2+0^2+0^2, 10=3^2+1^2+0^2+0^2
11&=3^2+1^2+1^2+0^2, 12=2^2+2^2+2^2+0^2, 13=3^2+2^2+0^2+0^2, 14=3^2+2^2+1^2+0^2, 15&=3^2+2^2+1^2+1^2, 16=4^2+0^2+0^2+0^2, 17=4^2+1^2+0^2+0^2, 18=3^2+3^2+0^2+0^2, 19&=3^2+3^2+1^2+0^2, 20=4^2+2^2+0^2+0^2
21&=4^2+1^2+1^2+0^2, 22=3^2+3^2+2^2+0^2, 23=3^2+3^2+2^2+1^2, 24=4^2+2^2+2^2+0^2, 25&=5^2+0^2+0^2+0^2, 26=5^2+1^2+0^2+0^2, 27=5^2+1^2+1^2+0^2, 28=4^2+4^2+0^2+0^2, 29&=5^2+2^2+0^2+0^2, 30=5^2+2^2+1^2+0^2
31&=5^2+2^2+1^2+1^2, 32=4^2+4^2+2^2+0^2, 33=5^2+3^2+0^2+0^2, 34=5^2+3^2+1^2+0^2, 35&=5^2+3^2+1^2+1^2, 36=6^2+0^2+0^2+0^2, 37=6^2+1^2+0^2+0^2, 38=6^2+1^2+1^2+0^2, 39&=6^2+1^2+1^2+1^2, 40=6^2+2^2+0^2+0^2
41&=5^2+4^2+0^2+0^2, 42=6^2+3^2+1^2+0^2, 43=6^2+3^2+1^2+1^2, 44=6^2+4^2+0^2+0^2, 45&=6^2+3^2+3^2+0^2, 46=6^2+3^2+3^2+1^2, 47=6^2+4^2+1^2+0^2, 48=6^2+4^2+1^2+1^2, 49&=7^2+0^2+0^2+0^2, 50=7^2+1^2+0^2+0^2

Passo 4

Agora em (b) consideramos os primos em 1,dots,50:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
Dividimos em
(i) pequiv1pmod4:;5,13,17,29,37,41,
(ii) pequiv3pmod4:;3,7,11,19,23,31,43,47.
Pelos quadrados módulo 4, um inteiro é soma de dois quadrados se e só se não é congruente a 3pmod4. Assim só os de tipo 4n+1 têm representação. Confira explicitamente:
5 =2^2+1^2, 13=2^2+3^2, 17=4^2+1^2, 29=5^2+2^2, 37=6^2+1^2, 41=5^2+4^2
Não existe solução inteira para nenhum primo 4n+3 porque então teríamos
,x^2+y^2equiv3pmod4, o que é impossível ( x^2,y^2in0,1).

Resposta

(a) Todos os inteiros de 1 a 50 têm pelo menos uma decomposição em soma de quatro quadrados conforme listado acima, confirmando o Teorema de Lagrange.
(b) Os primos pequiv1pmod4 em 1,dots,50 são
5,13,17,29,37,41
e de fato cada um admite a escrita como soma de dois quadrados; já os primos pequiv3pmod4 não admitem tal representação.

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