Determine y de modo que o triângulo de vértices A(1,4), B(4,1) e C(0, y) tenha área 6.

Solução

DA B C=|lll1 & 4 & 1 4 & 1 & 1 0 & y & 1|=3 y-15
S=|DA B C|2 Rightarrow 6=|3 y-15|2 Rightarrow 4=|y-5| Rightarrow y-5= pm 4 Rightarrow y=5 pm 4
Resposta: y=9 ou y=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o triângulo com vértices A(1,4), B(4,1) e C(0,y) e queremos encontrar o valor de y de modo que a área seja 6. O conteúdo aqui é geometria analítica, mais precisamente área de triângulo via determinante.

Passo 2

A fórmula da área de um triângulo determinado por três pontos (xA,yA), (xB,yB) e (xC,yC) é
S = 12 l|det xA & yA & 1 xB & yB & 1 xC & yC & 1 r|

Passo 3

Aplicando aos pontos dados, montamos o determinante:
D = det 1 & 4 & 1 4 & 1 & 1 0 & y & 1 = 1cdot(1cdot1 - 1cdot y) - 4cdot(4cdot1 - 1cdot0) + 1cdot(4cdot y - 1cdot0) = (1 - y) - 16 + 4y = 3y - 15

Passo 4

Como a área deve ser 6, igualamos:
6 = |D|2 Longrightarrow |3y - 15| = 12
Isso gera
3y - 15 = 12 Rightarrow 3y = 27 Rightarrow y = 9,
ou
3y - 15 = -12 Rightarrow 3y = 3 Rightarrow y = 1

Resposta

y = 9 ou y = 1

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