Quando você desenvolve (5 x+2 y)^5 pelo binômio de Newton, aparecem coeficientes numéricos e potências de x e y. Determine a soma dos coeficientes numéricos.

Passo 1

O enunciado pede a soma dos coeficientes numéricos da expansão de (5x+2y)^5. Vamos usar o Teorema Binomial, que dá a expressão geral dos termos de uma potência de soma de dois termos.

Passo 2

O Teorema Binomial diz que
(a+b)^n=sumk=0^nbinomnka^,n-kb^,k
Aqui temos a=5x, b=2y e n=5, de modo que cada termo é
binom5k(5x)^5-k(2y)^k =binom5k5^5-k2^k,x^5-ky^k
O coeficiente numérico de cada monômio é binom5k5^5-k2^k.

Passo 3

A soma de todos os coeficientes numéricos é
sumk=0^5binom5k5^5-k2^k
Reconhecemos que isso equivale a avaliar (5x+2y)^5 em x=1 e y=1, ou seja, a calcular (5+2)^5.

Passo 4

Então
sumk=0^5binom5k5^5-k2^k=(5+2)^5=7^5
e
7^5=16807

Resposta

16807

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