O volume de uma pirâmide regular hexagonal é 60 raiz3 m^3, sendo 4 m o lado do hexágono. Calcule a aresta lateral e a altura da pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá o volume V=60raiz3,m^3 de uma pirâmide de base hexagonal regular de lado a=4,m e pede a aresta lateral l (isto é, a distância do vértice da pirâmide a um vértice da base) e a altura h. Vamos usar:
– Área de um hexágono regular de lado a:
Abase = 3raiz32,a^2
– Volume de pirâmide:
V = 13,Abase,h
– Aresta lateral pela fórmula de Pitágoras num triângulo de catetos h e raio da circunferência circunscrita R, que em hexágono regular vale R=a.

Passo 2

Calcular a área da base substituindo a=4:
Abase = 3raiz32cdot 4^2 = 3raiz32cdot 16 = 24raiz3,m^2

Passo 3

Determinar a altura h a partir de V=tfrac13Abase,h. Então
h = 3VAbase = 3cdot 60raiz324raiz3 = 18024 = 7,5,m

Passo 4

Aresta lateral l vem do triângulo retângulo de catetos h e R=a=4,m:
l = raizh^2 + R^2 = raiz(7,5)^2 + 4^2 = raiz56,25 + 16 = raiz72,25 = 8,5,m

Resposta

Altura da pirâmide: h = 7,5,m.
Aresta lateral: l = 8,5,m.

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