O volume de um setor esférico é proporcional ao quadrado ou ao cubo do raio? Justifique.
Passo 1
O exercício pergunta se o volume de um setor esférico cresce como o quadrado ou como o cubo do raio
. O conteúdo usado aqui é integração em coordenadas esféricas e análise dimensional de volume. Vamos mostrar que, por construção, o volume escala como
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, um elemento de volume vale
onde
é a distância radial,
o ângulo polar e
o ângulo azimutal. Num setor esférico, os ângulos
e
variam em certo intervalo fixo (independente de
), e
vai de
até
.
Passo 3
O volume do setor é
Podemos separar a parte radial da angular:
enquanto
é uma constante que depende só dos ângulos do setor, não de
. Logo
mostrando que
.
Resposta
O volume de um setor esférico é proporcional ao cubo do raio.