O volume de um setor esférico é proporcional ao quadrado ou ao cubo do raio? Justifique.

Passo 1

O exercício pergunta se o volume de um setor esférico cresce como o quadrado ou como o cubo do raio R. O conteúdo usado aqui é integração em coordenadas esféricas e análise dimensional de volume. Vamos mostrar que, por construção, o volume escala como R^3.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, um elemento de volume vale
dV = rho^2 sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta,
onde rho é a distância radial, varphi o ângulo polar e theta o ângulo azimutal. Num setor esférico, os ângulos varphi e theta variam em certo intervalo fixo (independente de R), e rho vai de 0 até R.

Passo 3

O volume do setor é
V = integraltheta1^theta2!integralvarphi1^varphi2!integral0^R rho^2 sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta
Podemos separar a parte radial da angular:
integral0^Rrho^2,drho = gl[rho^33gr]0^R = R^33,
enquanto
integraltheta1^theta2!integralvarphi1^varphi2sinvarphi ,dvarphi,dtheta
é uma constante que depende só dos ângulos do setor, não de R. Logo
V = R^33times(constante angular),
mostrando que Vpropto R^3.

Resposta

O volume de um setor esférico é proporcional ao cubo do raio.

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