Dois planos equidistantes do centro de uma esfera de raio
seccionam essa esfera, determinando uma zona cuja área é igual à soma das áreas de suas bases. Obtenha a distância entre esses dois planos.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma esfera de raio
e dois planos paralelos equidistantes do centro que cortam a esfera, gerando uma zona esférica cuja área lateral é igual à soma das áreas das duas bases circulares formadas pelos cortes. Para resolver, vamos usar:
- a fórmula da área lateral de uma zona esférica de altura
, que é ; - a fórmula da área de um círculo de raio
, que é .
Passo 2
Denotemos por
a distância entre os dois planos. Como eles são equidistantes do centro, cada plano fica a uma distância
do centro da esfera. O raio
de cada círculo-base é dado por
Passo 3
A soma das áreas das duas bases circulares é
Passo 4
A área lateral da zona esférica de altura
é
Pela condição do problema, essa área lateral é igual à soma das áreas das bases:
Passo 5
Cancelando
e rearranjando,
Resolvendo essa equação quadrática em
,
Como
, fica
Resposta
A distância entre os planos é