Dois planos equidistantes do centro de uma esfera de raio R seccionam essa esfera, determinando uma zona cuja área é igual à soma das áreas de suas bases. Obtenha a distância entre esses dois planos.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de raio R e dois planos paralelos equidistantes do centro que cortam a esfera, gerando uma zona esférica cuja área lateral é igual à soma das áreas das duas bases circulares formadas pelos cortes. Para resolver, vamos usar:
  • a fórmula da área lateral de uma zona esférica de altura d, que é 2pi R,d;
  • a fórmula da área de um círculo de raio r, que é pi r^2.

Passo 2

Denotemos por d a distância entre os dois planos. Como eles são equidistantes do centro, cada plano fica a uma distância d/2 do centro da esfera. O raio r de cada círculo-base é dado por
r = raizR^2 - l(d2r)^2

Passo 3

A soma das áreas das duas bases circulares é
2 times pi r^2 = 2pi l(R^2 - d^24r)

Passo 4

A área lateral da zona esférica de altura d é
2pi R,d
Pela condição do problema, essa área lateral é igual à soma das áreas das bases:
2pi R,d = 2pi l(R^2 - tfracd^24r)

Passo 5

Cancelando 2pi e rearranjando,
R,d = R^2 - d^24 Longrightarrow 4R,d = 4R^2 - d^2 Longrightarrow d^2 +4R,d -4R^2 =0
Resolvendo essa equação quadrática em d,
d = -4R pm raiz(4R)^2 +4cdot1cdot4R^22 = -4R pm 4Rraiz22 = -2R pm 2Rraiz2
Como d>0, fica
d = 2Rl(raiz2 -1r)

Resposta

A distância entre os planos é
d = 2Rl(raiz2 -1r)

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