A que distância do centro de uma esfera devemos traçar um plano para que a área da zona (calota) determinada seja igual à área lateral de um cone cuja base é o círculo da seção do plano com a esfera e cujo vértice é o centro da esfera, sendo 10 cm a medida do raio da esfera?
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
e pede o valor da distância
do centro até um plano tal que a área da calota esférica (zona) gerada seja igual à área lateral de um cone que tem como base o círculo de interseção e vértice no centro da esfera. Vamos usar fórmulas de calota esférica e área lateral de cone.
Passo 2
Se o plano está a uma distância
do centro, o raio
do círculo de interseção satisfaz o teorema de Pitágoras em um triângulo de hipotenusa
e catetos
e
:
Passo 3
A área da calota esférica de altura
é dada por
A área lateral do cone de base de raio
e altura até o centro (slant height
) é
Passo 4
Igualamos as duas áreas:
Cancelando
em ambos os lados e elevando ao quadrado:
Expandindo e rearranjando, com
:
Passo 5
Resolvendo
:
A solução
cm corresponde à calota degenerada (área zero), então a distância útil é
cm.
Resposta
A
cm do centro da esfera.