A que distância do centro de uma esfera devemos traçar um plano para que a área da zona (calota) determinada seja igual à área lateral de um cone cuja base é o círculo da seção do plano com a esfera e cujo vértice é o centro da esfera, sendo 10 cm a medida do raio da esfera?

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R=10 cm e pede o valor da distância x do centro até um plano tal que a área da calota esférica (zona) gerada seja igual à área lateral de um cone que tem como base o círculo de interseção e vértice no centro da esfera. Vamos usar fórmulas de calota esférica e área lateral de cone.

Passo 2

Se o plano está a uma distância x do centro, o raio r do círculo de interseção satisfaz o teorema de Pitágoras em um triângulo de hipotenusa R e catetos x e r:
r = raizR^2 - x^2

Passo 3

A área da calota esférica de altura h = R - x é dada por
Acalota = 2pi R,h = 2pi R(R - x)
A área lateral do cone de base de raio r e altura até o centro (slant height l=R) é
Acone = pi,r,l = pi,r,R = pi RraizR^2 - x^2

Passo 4

Igualamos as duas áreas:
2pi R(R - x) = pi RraizR^2 - x^2
Cancelando pi R em ambos os lados e elevando ao quadrado:
2(R - x) = raizR^2 - x^2 Longrightarrow 4(R - x)^2 = R^2 - x^2
Expandindo e rearranjando, com R=10:
4(R^2 - 2Rx + x^2) = R^2 - x^2 ;Longrightarrow; 3R^2 - 8R x +5x^2 = 0 ;Longrightarrow; x^2 -16x +60 = 0

Passo 5

Resolvendo x^2 -16x +60=0:
x = 16 pm raiz16^2 -4cdot602 = 16 pm 42 ;Longrightarrow; x=10 cm ou x=6 cm
A solução x=10 cm corresponde à calota degenerada (área zero), então a distância útil é x=6 cm.

Resposta

A 6 cm do centro da esfera.

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