O volume de um tronco de pirâmide regular é 109 dm^3; as bases são triângulos equiláteros de 5 dm e de 7 dm de lado. Calcule a altura.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide regular cuja base maior e base menor são triângulos equiláteros de lados 7 dm e 5 dm, respectivamente, e cujo volume é 109 d m^3. O conteúdo principal envolve:
– calcular a área de um triângulo equilátero;
– usar a fórmula do volume de um tronco de pirâmide:
V = h3l(A1 + A2 + raizA1 A2r),
onde A1 e A2 são as áreas das bases. Vamos, portanto, achar A1, A2 e depois isolar h.

Passo 2

Calculamos as áreas das bases usando a fórmula
área do triângulo equilátero = raiz34,a^2 áâá
Para a base maior ( a=7 dm):
A1 = raiz34times 7^2 = 49raiz34
Para a base menor ( a=5 dm):
A2 = raiz34times 5^2 = 25raiz34

Passo 3

Calculamos o termo raizA1A2:
A1A2 = 49raiz34cdot25raiz34 = 49cdot25cdot316 = 367516,
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raizA1A2 = raiz36754 = 35raiz34

Passo 4

Somamos A1 + A2 + raizA1A2:
A1 + A2 = 49raiz34 + 25raiz34 = 74raiz34 = 37raiz32,
A1 + A2 + raizA1A2 = 37raiz32 + 35raiz34 = 74raiz3 + 35raiz34 = 109raiz34
Substituindo na fórmula do volume V=109:
109 = h3,109raiz34

Passo 5

Isolamos h:
h = 109cdot3cdot4109raiz3 = 12raiz3 = 12raiz33 = 4raiz3

Resposta

A altura do tronco de pirâmide é 4raiz3 dm.

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