Qual o volume de um tronco de pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral 5 m , cujas áreas das bases medem, respectivamente, 54 raiz3 m^2 e 6 raiz3 m^2 ?

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide de base e topo regulares hexagonais com aresta lateral l=5 m e áreas das bases B1=54raiz3 m^2 e B2=6raiz3 m^2. Para resolver, vamos usar:
1. A fórmula da área de um hexágono regular em função da aresta s,
2. A relação entre aresta lateral l, altura h e diferença de raios das bases,
3. A fórmula do volume de um tronco de pirâmide:
V = h3l(B1 + B2 + raizB1,B2r)

Passo 2

Em um hexágono regular a área é
A = 3raiz32,s^2
Para a base maior:
s1^2 = 2B13raiz3 = 2cdot54raiz33raiz3 =36 Longrightarrow s1=6 m
Para a base menor:
s2^2 = 2B23raiz3 = 2cdot6raiz33raiz3 =4 Longrightarrow s2=2 m

Passo 3

Num hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita vale R=s. Logo a diferença de raios é
De<a R = |R1 - R2| = |s1 - s2| = 6 - 2 = 4 m
Pela definição de aresta lateral l temos
l^2 = h^2 + (De<a R)^2 Longrightarrow 5^2 = h^2 + 4^2 Longrightarrow h^2 =25 -16 =9 Longrightarrow h=3 m

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do volume do tronco de pirâmide:
V = h3l(B1 + B2 + raizB1,B2r) = 33l(54raiz3 + 6raiz3 + raiz(54raiz3)(6raiz3)r)
Calculando raiz(54raiz3)(6raiz3)=raiz324cdot3=18raiz3, temos
V = 60raiz3 + 18raiz3 = 78raiz3 m^3

Resposta

78raiz3 m^3

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