(Vunesp-SP) No dia 1: de dezembro, uma pessoa enviou pela Internet uma mensagem para x pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 1? enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem do dia 2 também enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E assim sucessivamente. Se, do dia 1: até o final do dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é:
a) 12
b) 24
c) 52
d) 63
e) 126

Passo 1

O enunciado diz que no dia 1 uma pessoa manda a mensagem para x pessoas. No dia 2, cada uma dessas x pessoas manda para outras 2 novas, no dia 3 cada uma das do dia 2 manda para 2 novas, e assim por diante até o dia 6. Isso forma uma progressão geométrica finita cujos termos são os “novos destinatários” em cada dia.

Passo 2

Vamos identificar o número de pessoas que recebem a mensagem em cada dia:
— Dia 1: a1 = x (cada uma das x recebeu diretamente da pessoa inicial).
— Dia 2: a2 = x cdot 2.
— Dia 3: a3 = x cdot 2^2.
···
— Dia 6: a6 = x cdot 2^5.
Em geral, para n=1,2,dots,6,
an = x cdot 2^n-1

Passo 3

Queremos a soma total de pessoas que receberam do dia 1 até o dia 6, ou seja,
S = sumn=1^6 an = sumn=1^6 xcdot 2^,n-1 = x sumk=0^5 2^k
Como sumk=0^52^k = 2^6-12-1 = 63, segue
S = x cdot 63

Passo 4

O enunciado informa que ao final do dia 6 haviam recebido ao todo 756 pessoas. Logo,
63x = 756 Longrightarrow x = 75663 = 12

Resposta

x=12. Portanto, a alternativa correta é a) 12.

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