Para os cálculos dos exercícios 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 utilize um software de sua preferência.
Os dados abaixo referem-se aos pesos iniciais e ganhos de peso (em gramas) de 15 ratos fêmeas entre 24 a 84 dias de idade, submetidas a uma dieta com altos teores de proteína. O objetivo deste estudo é verificar se o ganho de peso está relacionado com o peso inicial. Sendo assim, experimentos de alimentação podem ser mais precisos, levando-se em conta o peso inicial dos ratos, ou fazendo-se o pareamento ou ainda por ajustes de diferenças no peso inicial.
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância a 5%.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
Ratos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Peso inicial 50 64 76 64 74 60 69 68 56 48 57 59 46 45 65
Ganho de peso 12 15 15 11 13 11 96 12 13 11 10 10 82 10 10
8 9 8 9 3 2 6 2 8 7 6 3 4

Passo 1

O enunciado pede para estudar a relação entre o peso inicial dos ratos e o ganho de peso, aplicando o coeficiente de correlação de Pearson e ajuste de regressão linear simples. Vamos precisar dos pares (peso inicial, ganho de peso) e usar as fórmulas clássicas de correlação e regressão.

Passo 2

Calcular as somas e os desvios em relação às médias. Primeiro, note que os pesos iniciais são: 50, 64, 76, 64, 74, 60, 69, 68, 56, 48, 57, 59, 46, 45, 65, e os ganhos totais (somando as duas linhas da tabela) são: 20, 24, 23, 20, 16, 13, 96, 18, 15, 19, 17, 16, 82, 13, 14. A média dos pesos iniciais é
bar x=90115approx60,07
e a dos ganhos é
bar y=40615approx27,07

Passo 3

Calcular as somas de quadrados e o produto cruzado:
Sxx=sum(xi-bar x)^2approx1345,12, Syy=sum(yi-bar y)^2approx9100,47, Sxy=sum(xi-bar x)(yi-bar y)approx-79,40

Passo 4

Obter o coeficiente de correlação de Pearson:
r=SxyraizSxx,Syyapprox-79,40raiz1345,12times9100,47approx-0,023

Passo 5

Testar a significância de r a 5%. A estatística é
$$t=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\approx-0{,}023\sqrt{\frac{13}{1-0{,}0005}}\approx-0{,}082,
$$com t=rraizn-21-r^2approx-0,023raiz131-0,0005approx-0,082, graus de liberdade. Como 13, não rejeitamos |t|.Logo, não há correlação linear significativa.

Passo 6

Ajustar o modelo de regressão simples. A inclinação é
b1=SxySxxapprox-79,401345,12approx-0,0591,
o intercepto
$$b_0=\bar y-b_1,\bar x\approx27{,}07-(-0{,}0591)\times60{,}07\approx30{,}61.
b0=bar y-b1,bar xapprox27,07-(-0,0591)times60,07approx30,61 é\hat y=30{,}61-0{,}0591,x.$$

Passo 7

Testar a significância do coeficiente angular. O erro padrão de b1 é
se(b1)=raizMSESxx,MSE=Syy-b1Sxyn-2approx699,68,
levando a se(b1)approx0,7214 e
$$t=\frac{b_1}{\mathrm{se}(b_1)}\approx\frac{-0{,}0591}{0{,}7214}\approx-0{,}082,
$$novamente não significativo a t=b1se(b1)approx-0,05910,7214approx-0,082, .

Passo 8

Como nem a correlação nem o coeficiente angular são significativos, concluímos que não há evidência de relação linear entre peso inicial e ganho de peso neste conjunto de dados.

Resposta

Coeficiente de correlação de Pearson: r≈–0,023 (não significativo a 5%). Modelo de regressão: hat y=30,61-0,0591,x, com coeficiente angular não significativo (p>0,05). Não há relação linear significativa entre peso inicial e ganho de peso.

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