Resolva as inequações:
\frac{(4 x+2)(1-3 x)}{(2 x-2)} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional $\frac{(4x+2)(1-3x)}{2x-2} \ge 0 $. Isso cai no conteúdo de inequações racionais, onde precisamos achar os zeros do numerador e do denominador e fazer um estudo de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos que anulam o numerador e o denominador:
  • Numerador:
    4x+2=0 x=-tfrac12
    1-3x=0 x=tfrac13
  • Denominador:
    2x-2=0 x=1

Passo 3

Agora, colocamos esses pontos em ordem crescente e analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
Pontos críticos:
-infty,,-tfrac12,,tfrac13,,1,,+infty.
Para cada fator:
  • 4x+2 muda de - para + em x=-tfrac12.
  • 1-3x muda de + para - em x=tfrac13.
  • 2x-2 muda de - para + em x=1.

Passo 4

Fazendo o produto e dividindo conforme o sinal de cada fator, obtemos que a fração é >=0 em:
  • ( -infty, -tfrac12 ], pois lá dá produto ≥0, incluindo o zero em x=-tfrac12.
  • [tfrac13, 1 ), pois dá produto ≥0 e o zero em x=tfrac13 é permitido, mas x=1 é excluído porque anula o denominador.

Passo 5

Concluindo, a solução é a união desses intervalos, respeitando que x=1 não pode estar no domínio da expressão.

Resposta

(-\infty, -\tfrac12] \cup [\tfrac13, 1)

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