Resolva as inequações:
\frac{(x+2)(3 x-4)}{(-3 x-2)} \leq 0

Passo 1

Estamos com a inequação racional (x+2)(3x-4)-3x-2 <= 0. O conteúdo aqui é resolução de inequação de função racional via análise de sinais; vamos precisar identificar zeros do numerador, zeros do denominador (pontos excluídos) e montar uma tabela de sinais.

Passo 2

Para simplificar o sinal geral, note que -3x-2 = -(3x+2). Assim
(x+2)(3x-4)-3x-2 = -(x+2)(3x-4)3x+2

Passo 3

Multiplicar ambos os lados de (x+2)(3x-4)-3x-2 <= 0 por -1 inverte o sinal da desigualdade, ficando
(x+2)(3x-4)3x+2 >= 0

Passo 4

Agora determinamos os pontos críticos: zeros do numerador em x=-2 e x=4/3, e zero do denominador em 3x+2=0 ou seja x=-2/3, que fica excluído da solução.

Passo 5

Montamos a análise de sinais nos intervalos determinados por esses pontos:
Intervalos:
  1. x+2<0: numerador >0 (pois 3x-4<0 e x=-2 dão produto positivo), denominador <0 → fração <0
  2. em (-2, -2/3): fração =0
  3. x=-2/3: numerador <0 (sinais opostos), denominador <0 → fração >0
  4. em (-2/3, 4/3): excluído
  5. x=4/3: numerador <0, denominador >0 → fração <0
  6. em (4/3, infty): fração =0
  7. : numerador >0, denominador >0 → fração >0

Passo 6

Queremos (x+2)(3x-4)3x+2 >= 0, ou seja fração não negativa. Pelas análises:
  • Fica zero em x=-2 e x=4/3,
  • É positiva em (-2,-2/3) e em (4/3,infty).
    O ponto x=-2/3 está vetado.

Passo 7

Portanto a solução da inequação original é
[-2,,-2/3),cup,[4/3,,infty)

Resposta

x \in [-2,,-2/3) \cup [4/3,,\infty)

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