Dadas as funções
e
, responda:
a. Qual a concavidade das funções?
b. Encontre as raízes das funções;
c. De as coordenadas do vértice das funções;
d. Ache o ponto máximo ou mínimo das funções;
e. Esboce as funções graficamente;
a. Qual a concavidade das funções?
b. Encontre as raízes das funções;
c. De as coordenadas do vértice das funções;
d. Ache o ponto máximo ou mínimo das funções;
e. Esboce as funções graficamente;
Passo 1
A questão pede análise completa de três funções quadráticas f(x)=4x^{2}+3x-1, g(x)=-x^{2}+2x-3 e h(x)=2x^{2}+3. Vamos trabalhar com teoria de parábolas: concavidade a partir do coeficiente a, raízes via fórmula de Bhaskara, vértice com fórmula x_{v}=-b/(2a) e y_{v}=f(x_{v}), e identificar extremum (máximo ou mínimo). Por fim, esboçamos graficamente cada parábola usando os pontos-chave que encontramos.
Passo 2
Para determinar a concavidade de cada função, lembramos que uma parábola f(x)=ax^{2}+bx+c é côncava para cima se a>0 (tem mínimo) e côncava para baixo se a<0 (tem máximo). Assim vemos: f tem a=4>0 então côncava para cima; g tem a=-1<0 então côncava para baixo; h tem a=2>0 então côncava para cima.
Passo 3
Para achar as raízes usamos a fórmula de Bhaskara que diz que as zeros de ax^{2}+bx+c=0 vêm de
Aplicando em cada:
f: a=4, b=3, c=-1→Δ=3^{2}-4·4·(-1)=25 → x=\frac{-3\pm5}{8}, dando x_{1}=-1 e x_{2}=1/4.
g: a=-1, b=2, c=-3→Δ=4-4·(-1)·(-3)=-8<0, sem raízes reais (raízes complexas x=1\pm i\sqrt{2}).
h: a=2, b=0, c=3→Δ=0-24=-24<0, sem raízes reais (raízes complexas x=\pm i\frac{\sqrt{6}}{2}).
f: a=4, b=3, c=-1→Δ=3^{2}-4·4·(-1)=25 → x=\frac{-3\pm5}{8}, dando x_{1}=-1 e x_{2}=1/4.
g: a=-1, b=2, c=-3→Δ=4-4·(-1)·(-3)=-8<0, sem raízes reais (raízes complexas x=1\pm i\sqrt{2}).
h: a=2, b=0, c=3→Δ=0-24=-24<0, sem raízes reais (raízes complexas x=\pm i\frac{\sqrt{6}}{2}).
Passo 4
O vértice de ax^{2}+bx+c fica em
Assim:
Para f: x_{v}=-3/(2·4)=-3/8, y_{v}=4(-3/8)^{2}+3(-3/8)-1=-25/16. Vértice em (-3/8,-25/16).
Para g: x_{v}=-2/(2·-1)=1, y_{v}=-1+2-3=-2. Vértice em (1,-2).
Para h: x_{v}=0/(2·2)=0, y_{v}=2·0^{2}+3=3. Vértice em (0,3).
Para f: x_{v}=-3/(2·4)=-3/8, y_{v}=4(-3/8)^{2}+3(-3/8)-1=-25/16. Vértice em (-3/8,-25/16).
Para g: x_{v}=-2/(2·-1)=1, y_{v}=-1+2-3=-2. Vértice em (1,-2).
Para h: x_{v}=0/(2·2)=0, y_{v}=2·0^{2}+3=3. Vértice em (0,3).
Passo 5
O extremum de cada parábola coincide com o vértice: como f e h têm a>0, cada uma tem mínimo em seu vértice; g tem a<0, logo tem máximo em (1,-2).
Passo 6
Para esboçar cada função, marcamos vértice, raízes reais (só em f), e interceptação com o eixo y (f(0)=-1, g(0)=-3, h(0)=3). Desenhamos f como parábola côncava para cima passando por (-1,0),(1/4,0) e vértice (-3/8,-25/16); g como côncava para baixo com vértice (1,-2) e sem cruzar o eixo x; h como côncava para cima com vértice (0,3) e sem cruzar o eixo x.
Passo 7
Com esses pontos traçamos cada curva qualitativamente: f sobe nas duas extremidades, g desce para as pontas, h sobe para as pontas, conforme suas concavidades.
Resposta
a. f e h são côncavas para cima; g é côncava para baixo. b. f: x=-1 e x=1/4; g e h não têm raízes reais. c. Vértices: f(-3/8,-25/16), g(1,-2), h(0,3). d. f e h têm mínimo em seus vértices; g tem máximo em (1,-2). e. Esboço: parabola de f passa por (-1,0),(1/4,0), vértice (-3/8,-25/16) côncava para cima; g côncava para baixo com vértice (1,-2), não cruza eixo x; h côncava para cima com vértice (0,3), não cruza eixo x.