Calcute: \int \frac{x^{2}+5 x+2}{(x-2)\left(x^{2}+4\right)} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}+5x+2}{(x-2)(x^{2}+4)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é frações parciais, pois temos uma função racional em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador e o denominador já está fatorado em (x-2) e (x^2+4).
Passo 2
Vamos escrever a decomposição em frações parciais. Suponha que
Finalmente, para \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx, lembramos que \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).
Aqui a=2, logo