Calcute:
\int \frac{x^{2}+5 x+2}{(x-2)\left(x^{2}+4\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}+5x+2}{(x-2)(x^{2}+4)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é frações parciais, pois temos uma função racional em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador e o denominador já está fatorado em (x-2) e (x^2+4).

Passo 2

Vamos escrever a decomposição em frações parciais. Suponha que
\frac{x^{2}+5x+2}{(x-2)(x^{2}+4)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^{2}+4}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x^{2}+4), obtemos
x^{2}+5x+2 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)(x-2).
Expandindo o lado direito e agrupando termos em potências de x, chega-se ao sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -2B + C = 5,\\\\ 4A - 2C = 2. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. De A+B=1 vem B=1-A.
  2. De -2B+C=5 temos C=5+2B=5+2(1-A)=7-2A.
  3. Substituindo em 4A-2C=2:
4A - 2(7-2A) = 2 \;\Longrightarrow\; 4A -14 +4A = 2 \;\Longrightarrow\; 8A = 16 \;\Longrightarrow\; A = 2.
Então
B = 1 - 2 = -1, \qquad C = 7 - 2\cdot2 = 3.

Passo 5

A decomposição fica
\frac{x^{2}+5x+2}{(x-2)(x^{2}+4)} = \frac{2}{x-2} + \frac{-x + 3}{x^{2}+4} = \frac{2}{x-2} - \frac{x}{x^{2}+4} + \frac{3}{x^{2}+4}.

Passo 6

Integramos termo a termo. Primeiro,
\int \frac{2}{x-2}\,dx = 2 \int \frac{1}{x-2}\,dx = 2 \ln\bigl|x-2\bigr|.
Em seguida, para
\displaystyle \int \frac{-x}{x^{2}+4}\,dx, use u = x^{2}+4, du = 2x\,dx:
\int \frac{-x}{x^{2}+4}\,dx = -\tfrac12 \int \frac{du}{u} = -\tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+4\bigr).

Passo 7

Finalmente, para
\displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx, lembramos que
\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).
Aqui a=2, logo
\int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx = 3 \cdot \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) = \frac{3}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Resposta

Somando todos os resultados, obtemos
\boxed{ \int \frac{x^{2}+5x+2}{(x-2)(x^{2}+4)}\,dx = 2\ln\lvert x-2\rvert - \tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + \tfrac{3}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C. }

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