Calcute:
\int_{0}^{\infty} e^{-x} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin(x)\,dx.
O conteúdo principal envolve o uso de integração por partes e o fato de que e^{-x} anula no infinito, garantindo a convergência.

Passo 2

Definimos
I = \int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin(x)\,dx
e notamos que, por ser produto de funções bem comportadas em [0,\infty), a integral converge.

Passo 3

Aplicamos integração por partes em I escolhendo
u = \sin(x),\quad dv = e^{-x}dx
logo
du = \cos(x)\,dx,\quad v = -e^{-x}.
Isso dá
I = \left.-e^{-x}\sin(x)\right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos(x)\,dx.
Como \lim_{x\to\infty}e^{-x}\sin(x)=0 e \sin(0)=0, o termo de fronteira é zero, e definimos
J = \int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos(x)\,dx,
ficando
I = J.

Passo 4

Calculamos agora
J = \int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos(x)\,dx
por partes, com
u = \cos(x),\quad dv = e^{-x}dx
de onde
du = -\sin(x)\,dx,\quad v = -e^{-x}.
Temos
J = \left.-e^{-x}\cos(x)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\bigl(-e^{-x}\bigr)\bigl(-\sin(x)\bigr)\,dx.
O termo de fronteira vale
0 -\bigl[-e^{0}\cos(0)\bigr] = 0 -(-1)=1,
e a integral remanescente é \int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin(x)\,dx = I. Logo
J = 1 - I.

Passo 5

Como do passo 3 temos I = J, substituímos na equação de J:
I = 1 - I \quad\Longrightarrow\quad 2I = 1 \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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