Usando a rega da cadria encontre \frac{\partial z}{\partial r} sendo z=e^{-x} \operatorname{sen} x y, x=r^{2}+r e y=r-r^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial r} usando a regra da cadeia, onde
z = e^{-x}\,\sin(xy),\quad x = r^{2}+r,\quad y = r - r^{2}.
O conteúdo é derivação de função composta de várias variáveis; vamos precisar de \partial z/\partial x, \partial z/\partial y, dx/dr e dy/dr.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y aplicando produto e cadeia:
z(x,y) = e^{-x}\sin(xy).
Produto de u=e^{-x} e v=\sin(xy):
\frac{\partial z}{\partial x} = u'\,v + u\,v' = (-e^{-x})\sin(xy) + e^{-x}\,\cos(xy)\,\frac{\partial (xy)}{\partial x}.
Mas \partial(xy)/\partial x = y. Logo
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{-x}\bigl(y\cos(xy) - \sin(xy)\bigr).
Agora \partial z/\partial y, só varia em v=\sin(xy):
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{-x}\,\cos(xy)\,\frac{\partial(xy)}{\partial y} = e^{-x}\,x\cos(xy).

Passo 3

Derivamos as expressões de x e y em relação a r:
\frac{dx}{dr} = \frac{d}{dr}(r^{2}+r) = 2r+1, \quad \frac{dy}{dr} = \frac{d}{dr}(r - r^{2}) = 1 - 2r.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para z(r)=z\bigl(x(r),y(r)\bigr):
\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dr} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dr}.
Substituindo \partial z/\partial x, \partial z/\partial y, dx/dr e dy/dr:
\frac{\partial z}{\partial r} = e^{-x}\bigl(y\cos(xy)-\sin(xy)\bigr)\,(2r+1) + e^{-x}\,x\cos(xy)\,(1-2r).

Passo 5

Só falta reescrever x e y em função de r:
x=r^{2}+r, \quad y=r - r^{2}.
Logo a resposta final é
\frac{\partial z}{\partial r} = e^{-\,(r^{2}+r)}\Bigl[\bigl((r - r^{2})\cos\bigl((r^{2}+r)(r - r^{2})\bigr)-\sin\bigl((r^{2}+r)(r - r^{2})\bigr)\bigr)(2r+1) +(r^{2}+r)\cos\bigl((r^{2}+r)(r - r^{2})\bigr)(1-2r)\Bigr].

Resposta

\frac{\partial z}{\partial r} = e^{-\,(r^{2}+r)}\Bigl[\bigl((r - r^{2})\cos\bigl((r^{2}+r)(r - r^{2})\bigr)-\sin\bigl((r^{2}+r)(r - r^{2})\bigr)\bigr)(2r+1) +(r^{2}+r)\cos\bigl((r^{2}+r)(r - r^{2})\bigr)(1-2r)\Bigr].

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