Classifique os pontos extremos relativos da funca f(x, y)=x^{3}+3 x^{2}+4 x y+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para classificar os extremos relativos da função
f(x,y)=x^{3}+3x^{2}+4xy+y^{2}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos e uso da Hessiana (teste da segunda derivada) para determinar se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+6x+4y,
\frac{\partial f}{\partial y}=4x+2y.
Para encontrar os pontos críticos, igualamos ao vetor nulo:
3x^{2}+6x+4y=0, \quad 4x+2y=0.

Passo 3

Da segunda equação temos
4x+2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-2x.
Substituindo em \frac{\partial f}{\partial x}=0:
3x^{2}+6x+4(-2x)=3x^{2}+6x-8x=3x^{2}-2x=x(3x-2)=0,
logo x=0 ou x=\tfrac{2}{3}. Os pontos críticos são
(0,0) \quad\text{e}\quad \Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 4

Agora formamos a Hessiana de f:
f_{xx}=6x+6, \quad f_{xy}=4, \quad f_{yy}=2.
O discriminante da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-(f_{xy})^{2}.

Passo 5

Avaliação em (0,0):
f_{xx}(0,0)=6,\quad f_{yy}(0,0)=2,\quad f_{xy}=4,
D(0,0)=6\cdot2-4^{2}=12-16=-4<0,
como D<0 temos ponto de sela em (0,0).

Passo 6

Avaliação em \bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3}\bigr):
f_{xx}\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3}\Bigr)=6\cdot\tfrac{2}{3}+6=10, \quad f_{yy}=2, \quad f_{xy}=4,
D\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3}\Bigr)=10\cdot2-4^{2}=20-16=4>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, esse ponto é um mínimo local.

Resposta

(0,0) é ponto de sela.
\bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3}\bigr) é mínimo local.

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