CALCVLE \int_{\sigma} \vec{G} \cdot d l, ONDE \sigma ÉA INTERSEŞAO DE z=1 \operatorname{com}\left(x^{2} / 3\right)+y^{2}+\left(z^{2} / 4\right)=1,(y \geqslant 0) ORIENTADE \operatorname{COM} x CRESCENTE, E \quad \vec{G}(x, y, z)=\left(2 x y \operatorname{Cos} x^{2}+3 e^{x}\right) \hat{\imath} +\left(\sin x^{2}+\frac{2 y}{y^{2}+1}\right) \hat{\jmath}+e^{x} \hat{k}.

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
\int_{\sigma}\vec G\cdot d\vec l
ao longo de \sigma, que é a curva dada pela interseção da reta z=1 com a superfície
\frac{x^{2}}{3}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1,
restrita a y\ge0, orientada com x crescente (ou seja, do ponto de menor x ao de maior x). A ideia é verificar que
\vec G(x,y,z)=\bigl(2xy\cos x^{2}+3e^{x}\bigr)\,\hat\imath +\Bigl(\sin x^{2}+\frac{2y}{y^{2}+1}\Bigr)\,\hat\jmath +e^{x}\,\hat k
é um campo conservativo em todo \mathbb R^3 (já que não há singularidades para y^{2}+1>0) e, então, usar o teorema fundamental das integrais de linha:
\int_{\sigma}\vec G\cdot d\vec l =\varphi\bigl(\text{ponto final}\bigr) -\varphi\bigl(\text{ponto inicial}\bigr),
onde \varphi é potencial de \vec G.

Passo 2

Para achar \varphi começamos integrando a componente k:
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = e^{x} \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y,z)=z\,e^{x}+H(x,y),
onde H ainda é função de (x,y) a determinar.

Passo 3

Usamos a componente j:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial H}{\partial y} =\sin x^{2}+\frac{2y}{y^{2}+1}.
Integramos em relação a y, tratando x como constante:
H(x,y)=y\,\sin x^{2}+\ln\bigl(y^{2}+1\bigr)+f(x),
onde f(x) é uma função de x somente.

Passo 4

Agora impomos a componente i:
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = z\,e^{x}+\frac{\partial H}{\partial x} \overset{!}{=}2xy\cos x^{2}+3e^{x}.
Calculamos
\frac{\partial H}{\partial x} =2xy\cos x^{2}+f'(x),
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z\,e^{x}+2xy\cos x^{2}+f'(x) =2xy\cos x^{2}+3e^{x} \;\Longrightarrow\; f'(x)=2e^{x} \;\Longrightarrow\; f(x)=2e^{x}+C.
Desprezando constante C, obtemos
\varphi(x,y,z) =ze^{x}+y\sin x^{2}+\ln\bigl(y^{2}+1\bigr)+2e^{x}.

Passo 5

Os extremos da curva \sigma ocorrem quando y=0 e z=1 satisfazendo
\frac{x^{2}}{3}+0+\frac{1}{4}=1 \;\Longrightarrow\; x^{2}=\frac{9}{4} \;\Longrightarrow\; x=\pm\frac{3}{2}.
Como x aumenta, o ponto inicial é \bigl(-\tfrac32,0,1\bigr) e o final é \bigl(\tfrac32,0,1\bigr). Então
\varphi\Bigl(\tfrac32,0,1\Bigr) =1\cdot e^{3/2}+0+\ln1+2e^{3/2} =3e^{3/2},
\varphi\Bigl(-\tfrac32,0,1\Bigr) =1\cdot e^{-3/2}+0+\ln1+2e^{-3/2} =3e^{-3/2}.
Pela independência de caminho,
\int_{\sigma}\vec G\cdot d\vec l =\varphi\bigl(\tfrac32,0,1\bigr)-\varphi\bigl(-\tfrac32,0,1\bigr) =3\bigl(e^{3/2}-e^{-3/2}\bigr).

Resposta

\boxed{3\bigl(e^{3/2}-e^{-3/2}\bigr)}.

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