Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição r(t) no valor determinado de t.
r(t)=\left(1+t, \frac{t^{2}}{\sqrt{2}}, \frac{t^{3}}{3}\right) ; \quad t=1

Passo 1

O enunciado nos dá a trajetória de uma partícula
r(t)=\bigl(1+t,\;\tfrac{t^{2}}{\sqrt{2}},\;\tfrac{t^{3}}{3}\bigr)
e pede, em t=1,
  1. o vetor velocidade \mathbf{v}(1),
  2. o módulo da velocidade \|\mathbf{v}(1)\|,
  3. o vetor aceleração \mathbf{a}(1).
    Para isso vamos usar derivação componente a componente:
    \mathbf{v}(t)=r'(t) e \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t).

Passo 2

Derivando cada componente de r(t):
– Derivada de 1+t é 1.
– Derivada de \tfrac{t^{2}}{\sqrt{2}} é \tfrac{2t}{\sqrt{2}}.
– Derivada de \tfrac{t^{3}}{3} é t^{2}.
Logo,
\mathbf{v}(t)=r'(t)=\Bigl(1,\;\tfrac{2t}{\sqrt{2}},\;t^{2}\Bigr).

Passo 3

Avaliaremos \mathbf{v}(t) em t=1:
\mathbf{v}(1)=\Bigl(1,\;\tfrac{2\cdot1}{\sqrt{2}},\;1^{2}\Bigr) =\bigl(1,\;\tfrac{2}{\sqrt{2}},\;1\bigr) =\bigl(1,\;\sqrt{2},\;1\bigr).

Passo 4

O módulo da velocidade é
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{1^{2}+\Bigl(\tfrac{2t}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2}+(t^{2})^{2}} =\sqrt{1+\tfrac{4t^{2}}{2}+t^{4}} =\sqrt{1+2t^{2}+t^{4}} =\sqrt{(t^{2}+1)^{2}} =t^{2}+1.
Em t=1, temos
\|\mathbf{v}(1)\|=1^{2}+1=2.

Passo 5

Agora derivamos \mathbf{v}(t) para obter a aceleração:
– Derivada de 1 é 0.
– Derivada de \tfrac{2t}{\sqrt{2}} é \tfrac{2}{\sqrt{2}}.
– Derivada de t^{2} é 2t.
Então
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\Bigl(0,\;\tfrac{2}{\sqrt{2}},\;2t\Bigr) =\bigl(0,\;\sqrt{2},\;2t\bigr).
Em t=1:
\mathbf{a}(1)=\bigl(0,\;\sqrt{2},\;2\cdot1\bigr) =(0,\;\sqrt{2},\;2).

Resposta

\mathbf{v}(1)=(1,\;\sqrt{2},\;1)
\|\mathbf{v}(1)\|=2
\mathbf{a}(1)=(0,\;\sqrt{2},\;2)

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