O calor desenvolvido, em calorias por grama, em uma mistura de cimento é, aproximadamente, normalmente distribuído. Acredita-se que a média seja 70 e o desvio-padrão 2. Você deseja testar
versus
com uma amostra de
espécimes.
Passo 1
Então, galera, vamos lá! Temos um exercício onde o calor desenvolvido em uma mistura de cimento é normalmente distribuído com média de 70 calorias por grama e desvio-padrão de 2. Queremos testar se essa média realmente é 70 ou se ela mudou. Para isso, vamos usar teste de hipóteses na estatística, especificamente um teste z já que conhecemos o desvio-padrão da população. Precisamos de uma amostra com tamanho $ n = 5 $.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula ($ H_0
H_1 $) é que a média é diferente de 70. Então:
Passo 3
Agora, vamos escolher um nível de significância ($ \alpha $). Esse nível indica a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. Comumente, usamos $ \alpha = 0,05 $ (5%).
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o estatístico de teste. Como conhecemos o desvio-padrão da população ($ \sigma = 2
n = 5 $), usamos a fórmula do teste z:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra
- $ \mu_0 = 70 $ é a média sob a hipótese nula
- $ \sigma = 2 $ é o desvio-padrão
- $ n = 5 $ é o tamanho da amostra
Passo 5
Depois de calcular o valor de $ z $ com a média da amostra, precisamos determinar os valores críticos para o nosso teste bilateral. Para $ \alpha = 0,05 $, dividimos esse valor pelos dois lados da distribuição, ficando $ 0,025 $ de cada lado.
Consultando a tabela z, os valores críticos são aproximadamente $ \pm 1,96 $.
Passo 6
Com o valor calculado de $ z $, comparamos com os valores críticos:
- Se $ z $ estiver fora do intervalo
a $ +1,96 $, rejeitamos $ H_0 $. - Se $ z $ estiver dentro desse intervalo, não rejeitamos $ H_0 $.
Isso significa que, se nossa média amostral indicar que o calor desenvolvido está significativamente diferente de 70 calorias por grama, rejeitamos a hipótese de que a média é 70.
Resposta
Após calcular o valor de $ z $ e compará-lo com os valores críticos de $ \pm 1,96 $:
- Se $ |z| > 1,96 $: Rejeitamos $ H_0 $, ou seja, a média não é igual a 70 calorias por grama.
- Se $ |z| \leq 1,96 $: Não rejeitamos $ H_0 $, mantendo a média como 70 calorias por grama.