Em resposta a um edital de financiamento de projetos, uma empresa de tecnologia da área de petróleo e gás apresenta três projetos (
e C). Os analistas da empresa consideram que há
de chance do projeto A ser aprovado,
de chance do projeto B ser aprovado,
de chance de serem aprovados os projetos A e B,
de chance de aprovarem os projetos A e C,
de chance de aprovarem os projetos B e Ce e
de chance de que os 3 projetos sejam aprovados. Por fim, os analistas concluíram também que a probabilidade de haver um e exatamente um projeto aprovado é de
. Responda ao que se pede:
Assinale a afirmativa correta:
(a) A aprovação dos projetos
e C são eventos mutuamente independentes
(b) A aprovação dos projetos
e C são eventos mutuamente exclusivos
© A aprovação dos projetos A e B são eventos mutuamente exclusivos
(d) A aprovação dos projetos B e.C são eventos independentes entre si
(e) A aprovação dos projetos A e B são eventos independentes entre si
Assinale a afirmativa correta:
(a) A aprovação dos projetos
(b) A aprovação dos projetos
© A aprovação dos projetos A e B são eventos mutuamente exclusivos
(d) A aprovação dos projetos B e.C são eventos independentes entre si
(e) A aprovação dos projetos A e B são eventos independentes entre si
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A questão apresenta três projetos de uma empresa e nos dá várias probabilidades de aprovação deles, tanto individualmente quanto em conjunto. Nosso objetivo é verificar qual das afirmações de (a) a (e) está correta, analisando se os eventos de aprovação dos projetos são mutuamente independentes, exclusivos ou independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa eventos mutuamente exclusivos. Dois eventos são mutuamente exclusivos se não podem acontecer ao mesmo tempo. Por exemplo, se você jogar um dado, os eventos “sair 2” e “sair 3” são mutuamente exclusivos porque um resultado não pode ser os dois números simultaneamente.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre eventos independentes. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro acontecer. Matemáticamente, isso significa que $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $. Se essa igualdade for verdadeira, os eventos são independentes; caso contrário, não são.
Passo 4
Vamos analisar as opções uma por uma:
-
Opção (a): Diz que os três projetos são mutuamente independentes. Para que isso seja verdade, não só cada par de eventos precisa ser independente, mas também a probabilidade dos três acontecerem juntos deve ser igual ao produto das probabilidades individuais. Já sabemos que $ P(A \cap B \cap C) = 6% $, e $ P(A) \times P(B) \times P© = 0.4 \times 0.6 \times 0.25 = 0.06 $ (considerando $ P© = 25% $ calculado a seguir). No entanto, verificando outros pares:
- $ P(A \cap C) = 12% $ vs $ P(A) \times P© = 0.4 \times 0.25 = 0.10 $ → Não são independentes
Portanto, a opção (a) está errada. -
Opção (b): Afirma que os projetos são mutuamente exclusivos. Mas já sabemos que $ P(A \cap B) = 24% $, que é maior que zero, então eles não são mutuamente exclusivos. Opção (b) está errada.
-
Opção ©: Diz que a aprovação dos projetos A e B são mutuamente exclusivos. Mas $ P(A \cap B) = 24% $ indica que ambos podem ser aprovados juntos, então não são mutuamente exclusivos. Opção © está errada.
-
Opção (d): A afirmação é sobre B e C serem independentes. Vamos verificar:
- $ P(B \cap C) = 22% $ vs $ P(B) \times P© = 0.6 \times 0.25 = 0.15 $ → Não são independentes
Portanto, a opção (d) está errada. -
Opção (e): Fala que os projetos A e B são independentes. Vamos conferir:
- $ P(A \cap B) = 24% $ e $ P(A) \times P(B) = 0.4 \times 0.6 = 0.24 $ → São independentes
A opção (e) está correta.
Resposta
(e) A aprovação dos projetos A e B são eventos independentes entre si