Um serviço médico monitora o número de tomografias (TAC) realizadas a cada mês em cada uma de suas clínicas. Dados do ano mais recente para determinada clínica são apresentados a seguir (a variável descrita é o número de tomografias a cada mês, expressa como o número de tomografias por mil membros do plano de saúde). 2,31; 2,09; 2,36; 1,95; 1,98; 2,25; 2,16; 2,07; 1,88; 1,94; 1,97; 2,02$. Encontre um intervalo de confiança bilateral de 95 % para o desvio-padrão. O que você deve fazer de forma a abordar quaisquer ressalvas sobre o intervalo de confiança encontrado?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem os números de tomografias realizadas por mês em uma clínica durante um ano (12 meses). Esses números estão expressos por mil membros do plano de saúde e são: 2,31; 2,09; 2,36; 1,95; 1,98; 2,25; 2,16; 2,07; 1,88; 1,94; 1,97; 2,02. O que a gente precisa fazer é encontrar um intervalo de confiança bilateral de 95% para o desvio-padrão dessas tomografias. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, como média, variância e distribuição qui-quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das tomografias realizadas. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Calculando isso:
Então, a média é aproximadamente 2,082 tomografias por mil membros.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância amostral. A variância mede a dispersão dos dados em relação à média. A fórmula da variância amostral é:
Onde $ x_i $ são os valores individuais e $ n $ é o tamanho da amostra.
Vamos calcular cada $ (x_i - \bar{x})^2 $:
Somando todos esses valores:
Então, a variância amostral é:
Passo 4
Agora que temos a variância amostral, podemos encontrar o intervalo de confiança para a variância usando a distribuição qui-quadrado ($ \chi^2 $). A fórmula para o intervalo de confiança bilateral para a variância é:
Onde:
- $ n = 12 $ (tamanho da amostra)
- $ s^2 = 0,0242 $ (variância amostral)
- $ \alpha = 0,05 $ (nível de confiança de 95%)
- $ \chi^2_{\alpha/2} $ e $ \chi^2_{1 - \alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os percentis 2,5% e 97,5%.
Consultando uma tabela de distribuição qui-quadrado para $ df = n - 1 = 11 $:
Agora, substituindo na fórmula:
Esse é o intervalo de confiança para a variância. Para encontrar o intervalo para o desvio-padrão, basta tirar a raiz quadrada dos limites:
Passo 5
Então, o intervalo de confiança bilateral de 95% para o desvio-padrão das tomografias realizadas é aproximadamente de 0,110 a 0,264 tomografias por mil membros do plano de saúde.
Resposta
O intervalo de confiança bilateral de 95% para o desvio-padrão das tomografias é aproximadamente entre 0,110 e 0,264 tomografias por mil membros do plano de saúde. É importante lembrar que esse intervalo pressupõe que os dados seguem uma distribuição normal. Se essa suposição não for válida, o intervalo pode não ser preciso, então seria bom verificar a normalidade dos dados antes de interpretar os resultados.