O calor específico molar de certa substância varia com a temperatura de acordo com a lei: C_{V}=25,0+2,50 \times 10^{-3} \mathrm{~T} em \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol} \mathrm{K}} quando T é expresso em K. Qual a quantidade de calor necessária para que 2,0 \mathrm{~mol} da substância aqueça de 27^{\circ} \mathrm{C} a 227^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá o calor específico molar C_{V} de uma substância como função da temperatura via
C_{V}(T)=25,0 + 2,50\times10^{-3}\,T
em \mathrm{J/(mol\,K)}, com T em kelvin. Pede-se o calor Q necessário para aquecer n=2{,}0 mol de 27^\circ\mathrm{C} a 227^\circ\mathrm{C}. O método é usar a relação
Q = n \int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{V}(T)\,dT,
ou seja, integrar C_{V}(T) de T_{1} a T_{2}.

Passo 2

Converter as temperaturas de grau Celsius para kelvin:
T_{1} = 27^\circ\mathrm{C} + 273 = 300\\ \mathrm{K}, \qquad T_{2} = 227^\circ\mathrm{C} + 273 = 500\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Escrever a integral do calor absorvido por mol:
Q_{\rm mol} = \int_{T_{1}}^{T_{2}}\bigl(25,0 + 2,50\times10^{-3}\,T\bigr)\,dT.
Justificativa: o calor em processo a volume constante é dado por dQ = C_{V}(T)\,dT.

Passo 4

Calcular a integral por partes simples:
\int_{T_{1}}^{T_{2}}25,0\,dT = 25,0\,(T_{2}-T_{1}) = 25,0\times(500-300) = 5000\\ \mathrm{J/mol},
\int_{T_{1}}^{T_{2}}2,50\times10^{-3}\,T\,dT = 2,50\times10^{-3}\,\frac{T^{2}}{2}\Big|_{300}^{500} = 1,25\times10^{-3}\,\bigl(500^{2}-300^{2}\bigr) = 1,25\times10^{-3}\times160000 = 200\\ \mathrm{J/mol}.
Somando,
Q_{\rm mol} = 5000 + 200 = 5200\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 5

Multiplicar pelo número de mols n=2,0:
Q = n\,Q_{\rm mol} = 2{,}0\times5200 = 10400\\ \mathrm{J}.

Resposta

1{,}04\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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