1. Op Uma panela de alumínio ( \beta_{\mathrm{a}}=7,2 \times 10^{-5} 1 /{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 100 mm de altura contém óleo ( \beta_{0}=6,3 \times 10^{-4} 1 /{ }^{\circ} \mathrm{C} ) até uma altura 1,0 \mathrm{~mm} abaixo do topo da panela. Você coloca no fogo lento e o conjunto aquece homogeneamente a partir de uma temperatura inicial de 25^{\circ} \mathrm{C}. Em que temperatura o óleo começará a transbordar da panela?

Passo 1

O enunciado dá uma panela de alumínio de altura H_p=100 mm (coeficiente linear de expansão \alpha_a=7,2\times10^{-5}\,/^\circ\mathrm{C}) contendo óleo até uma altura H_o=H_p-1{,}0 mm =99 mm (coeficiente volumétrico de expansão \beta_o=6,3\times10^{-4}\,/^\circ\mathrm{C}). A temperatura inicial é T_0=25^\circ\mathrm{C} e aquece-se tudo uniformemente. Queremos a temperatura T em que o óleo transborda.

Passo 2

Vamos tomar A como a área da seção interna da panela. O volume inicial do óleo é
V_{o0}=A\,H_o
e o volume interno inicial da panela é
V_{p0}=A\,H_p.

Passo 3

Ao aquecer \Delta T=T-T_0:
  • O óleo sofre expansão volumétrica:
V_o = V_{o0}\bigl(1+\beta_o\,\Delta T\bigr).
  • A panela, sendo um corpo sólido com coeficiente linear \alpha_a, expande suas três dimensões aproximadamente igual, logo seu volume interno fica
V_p = V_{p0}\bigl(1+3\,\alpha_a\,\Delta T\bigr).

Passo 4

O óleo começa a transbordar quando V_o=V_p. Cancelando A, obtemos
H_o\bigl(1+\beta_o\,\Delta T\bigr) = H_p\bigl(1+3\,\alpha_a\,\Delta T\bigr).
Isolando \Delta T:
H_o + H_o\,\beta_o\,\Delta T = H_p +3\,H_p\,\alpha_a\,\Delta T \quad\Longrightarrow\quad \Delta T\,(H_o\,\beta_o -3\,H_p\,\alpha_a) = H_p - H_o.
Como H_p-H_o=1{,}0 mm,
\Delta T = \frac{1{,}0}{H_o\,\beta_o -3\,H_p\,\alpha_a} = \frac{1{,}0}{99\cdot(6{,}3\times10^{-4}) -300\cdot(7{,}2\times10^{-5})} \approx24{,}5\;^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

A temperatura de transbordo é
T = T_0 + \Delta T = 25{,}0 +24{,}5 \approx49{,}5\;^\circ\mathrm{C}.

Resposta

O óleo começa a transbordar aproximadamente a 49{,}5^\circ\mathrm{C}.

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