1. Em certo planeta, um tipo de libélula voa a 18,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e em linha reta na direção da sua presa, a qual se encontra em repouso. A libélula emite um som de 1600 Hz e a presa ouve esse som na frequência de 1800 Hz . Qual a velocidade do som no planeta?

Passo 1

O enunciado trata do efeito Doppler para uma fonte sonora em movimento na direção de um ouvinte em repouso. Sabemos que a frequência emitida é \,1600\\ \text{Hz}, a frequência percebida é \,1800\\ \text{Hz} e a velocidade da fonte é \,18{,}0\\ \text{km/h}. Vamos usar a fórmula do efeito Doppler para fonte móvel e ouvinte estacionário:
f' = f \,\frac{v}{\,v - v_s\,}
onde f' é a frequência recebida, f a frequência emitida, v a velocidade do som e v_s a velocidade da fonte.

Passo 2

Converter a velocidade da fonte de \,\text{km/h} para \,\text{m/s}. Como
1\\ \text{km/h} = \frac{1000\\ \text{m}}{3600\\ \text{s}} = \frac{1}{3{,}6}\\ \text{m/s},
temos
v_s = 18{,}0\\ \text{km/h} = 18{,}0 \times \frac{1}{3{,}6}\\ \text{m/s} = 5{,}0\\ \text{m/s}.

Passo 3

Substituir na fórmula do efeito Doppler:
\frac{f'}{f} = \frac{1800}{1600} = 1{,}125 = \frac{v}{\,v - 5{,}0\,}.
Fazendo a álgebra,
1{,}125\,(v - 5{,}0) = v \quad\Longrightarrow\quad 1{,}125\,v - 5{,}625 = v \quad\Longrightarrow\quad 0{,}125\,v = 5{,}625.

Passo 4

Resolver para v:
v = \frac{5{,}625}{0{,}125} = 45\\ \text{m/s}.

Passo 5

Podemos também expressar em \,\text{km/h}:
45\\ \text{m/s} \times 3{,}6 = 162\\ \text{km/h},
mas normalmente a velocidade do som é dada em \,\text{m/s}.

Resposta

A velocidade do som no planeta é 45\\ \text{m/s}.

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