O calor específico de uma substância varia com a temperatura segundo a equação
c(t)=\left(2 t^{2}+t\right) \times 10^{-3} \mathrm{cal} /\left(\mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) .
Calcule a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 100 g dessa substância de 20^{\circ} \mathrm{C} até 40^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá o calor específico variável de uma substância em função da temperatura t por
c(t) = \bigl(2t^{2} + t\bigr)\times 10^{-3}\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})
e pede o calor necessário para aquecer m=100,g de t_{1}=20^{\circ}\mathrm{C} até t_{2}=40^{\circ}\mathrm{C}. O conteúdo aqui é calorimetria com calor específico variável, então vamos usar
Q = m \int_{t_{1}}^{t_{2}} c(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Substituindo c(t) na expressão de Q, temos
Q = 100 \int_{20}^{40} \bigl(2t^{2} + t\bigr)\times 10^{-3}\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Fatorando 10^{-3} constante e integrando, obtemos a primitiva de 2t^{2}+t:
\int \bigl(2t^{2} + t\bigr)\,\mathrm{d}t = \frac{2}{3}t^{3} + \frac{1}{2}t^{2} + C.
Logo,
\int_{20}^{40} \bigl(2t^{2} + t\bigr)\times 10^{-3}\,\mathrm{d}t = 10^{-3}\left[\frac{2}{3}t^{3} + \frac{1}{2}t^{2}\right]_{20}^{40}.

Passo 4

Avaliaremos o colchete em t=40 e t=20:
\left[\frac{2}{3}t^{3} + \frac{1}{2}t^{2}\right]_{20}^{40} = \frac{2}{3}\bigl(40^{3}-20^{3}\bigr) + \frac{1}{2}\bigl(40^{2}-20^{2}\bigr).
Calculando:
40^{3}-20^{3}=64\,000 - 8\,000 =56\,000,\quad 40^{2}-20^{2}=1\,600 - 400 =1\,200,
\frac{2}{3}\times56\,000 = \frac{112\,000}{3}\approx37\,333{,}33, \quad \frac{1}{2}\times1\,200 =600,
\frac{2}{3}\bigl(40^{3}-20^{3}\bigr) + \frac{1}{2}\bigl(40^{2}-20^{2}\bigr) \approx 37\,333{,}33 + 600 =37\,933{,}33.

Passo 5

Voltando a Q:
Q = 100 \times 10^{-3} \times 37\,933{,}33 = 0{,}1 \times 37\,933{,}33 \approx 3\,793{,}33\\ \mathrm{cal}.

Resposta

A quantidade de calor necessária é aproximadamente 3\,793{,}3 cal.

Exercícios relacionados