Q12 - As temperaturas de massas iguais de três líquidos diferentes A , B e C são, respectivamente, 12{ }^{\circ} \mathrm{C}, 19{ }^{\circ} \mathrm{C} e 28{ }^{\circ} \mathrm{C}. Ao misturar A com B , a temperatura de equilíbrio é 16^{\circ} \mathrm{C}; ao misturar B com C, a temperatura de equilíbrio é 23{ }^{\circ} \mathrm{C}. Qual será a temperatura de equilíbrio ao misturar A com C? (Considere massas iguais e ausência de perdas de calor.)

Passo 1

O enunciado dá três líquidos A, B e C de massas iguais com temperaturas iniciais \,T_A=12^\circ\mathrm{C}, \,T_B=19^\circ\mathrm{C} e \,T_C=28^\circ\mathrm{C}. Ao misturar A e B, a temperatura de equilíbrio é 16^\circ\mathrm{C} e ao misturar B e C é 23^\circ\mathrm{C}. Queremos a temperatura de equilíbrio ao misturar A com C. O conteúdo aqui é calorimetria: cada líquido tem calor específico c_A, c_B e c_C, e para massas iguais a temperatura de equilíbrio de dois corpos i e j é
T_{ij}=\frac{c_i\,T_i+c_j\,T_j}{c_i+c_j}.

Passo 2

Usando a fórmula para A + B:
\frac{c_A\cdot12 + c_B\cdot19}{c_A + c_B} = 16.
Multiplicando em cruz:
c_A\cdot12 + c_B\cdot19 = 16\,(c_A + c_B)
12\,c_A + 19\,c_B = 16\,c_A + 16\,c_B.

Passo 3

Reagrupando para isolar a razão c_A/c_B:
12\,c_A - 16\,c_A = 16\,c_B - 19\,c_B \quad\Longrightarrow\quad -4\,c_A = -3\,c_B \quad\Longrightarrow\quad \frac{c_A}{c_B} = \frac{3}{4}.

Passo 4

Agora para B + C:
\frac{c_B\cdot19 + c_C\cdot28}{c_B + c_C} = 23 \;\Longrightarrow\; 19\,c_B + 28\,c_C = 23\,c_B + 23\,c_C \;\Longrightarrow\; 5\,c_C = 4\,c_B \;\Longrightarrow\; \frac{c_C}{c_B} = \frac{4}{5}.

Passo 5

Para A + C,
T_{AC} = \frac{c_A\cdot12 + c_C\cdot28}{c_A + c_C}.
Escrevendo c_A = \tfrac34\,c_B e c_C = \tfrac45\,c_B, temos
T_{AC} = \frac{\tfrac34\,c_B\cdot12 + \tfrac45\,c_B\cdot28}{\tfrac34\,c_B + \tfrac45\,c_B} = \frac{9 + 22{,}4}{0{,}75 + 0{,}8} = \frac{31{,}4}{1{,}55} \approx 20{,}26^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura de equilíbrio ao misturar A com C é aproximadamente 20{,}26^\circ\mathrm{C}.

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