Q13 - Um cubo de gelo de 0,100 \mathrm{~kg} a 0^{\circ} \mathrm{C} é colocado em um recipiente isolado que está a 227^{\circ} \mathrm{C}. O calor específico S do recipiente varia com a temperatura T segundo a relação empírica S=A+B T, onde A=100 \mathrm{cal} / \mathrm{kg} e B=2,0 \times 10^{-2} \mathrm{cal} /\left(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}^{2}\right). Sabendo que a temperatura final do recipiente é 27^{\circ} \mathrm{C}, determine a massa do recipiente.

Passo 1

O enunciado dá um cubo de gelo de massa \,0,100\\ \mathrm{kg} a 0^\circ\mathrm{C} que, ao ser colocado num recipiente isolado inicialmente a 227^\circ\mathrm{C}, atinge temperatura final de 27^\circ\mathrm{C}. O recipiente tem massa M e calor específico dependente da temperatura segundo
S(T)=A+B\,T,
com A=100\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{kg}\cdot K) e B=2{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{kg}\cdot K^2). Vamos usar calorimetria com calor latente e integração de S(T).

Passo 2

Calculamos o calor absorvido pelo gelo para derreter e aquecer a água de 0^\circ\mathrm{C} a 27^\circ\mathrm{C}. A massa de gelo é m=0{,}100\\ \mathrm{kg}.
  1. Calor de fusão:
Q_{\text{fus}}=m\,L,\quad L=8,0\times10^4\\ \mathrm{cal}/\mathrm{kg},
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Q_{\text{fus}}=0{,}100\times8,0\times10^4=8{,}0\times10^3\\ \mathrm{cal}.
  1. Calor para aquecer a água de 0^\circ\mathrm{C} a 27^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{aq}}=m\,c_{\mathrm{água}}\,(27-0),\quad c_{\mathrm{água}}=1{,}0\times10^3\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{kg}\cdot K),áá
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Q_{\text{aq}}=0{,}100\times1{,}0\times10^3\times27=2{,}7\times10^3\\ \mathrm{cal}.
Assim o calor total absorvido pelo gelo é
Q_{\text{gelo}}=Q_{\text{fus}}+Q_{\text{aq}}=8{,}0\times10^3+2{,}7\times10^3=1{,}07\times10^4\\ \mathrm{cal}.

Passo 3

O recipiente perde calor ao descer de 227^\circ\mathrm{C} a 27^\circ\mathrm{C}. O calor perdido é
Q_{\text{rec}}=M\int_{T_f}^{T_i}S(T)\,dT =M\int_{27}^{227}\bigl(A+B\,T\bigr)\,dT.
Fazendo a integral:
\int_{27}^{227}(A+B\,T)\,dT =A\,(227-27)+\frac{B}{2}\bigl(227^2-27^2\bigr).
Substituindo A=100 e B=2{,}0\times10^{-2}:
A\,(227-27)=100\times200=2{,}0\times10^4,
\frac{B}{2}\bigl(227^2-27^2\bigr) =1{,}0\times10^{-2}\bigl(51529-729\bigr) =1{,}0\times10^{-2}\times5{,}08\times10^4 =508.
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Q_{\text{rec}}=M\bigl(2{,}0\times10^4+508\bigr) =M\times2{,}0508\times10^1 =M\times2{,}0508\times10^1\\ \mathrm{cal}.

Passo 4

No equilíbrio térmico, o calor cedido pelo recipiente é igual ao absorvido pelo gelo:
Q_{\text{rec}}=Q_{\text{gelo}} \quad\Longrightarrow\quad M\times20508=1{,}07\times10^4 \quad\Longrightarrow\quad M=\frac{1{,}07\times10^4}{20508}\approx0{,}52\\ \mathrm{kg}.

Resposta

A massa do recipiente é aproximadamente 0,52\\ \mathrm{kg}.

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