Num calorímetro de capacidade térmica 10 \mathrm{cal} /{ }^{\circ} \mathrm{C}, tem-se uma substância de massa 200 g , calor específico 0,2 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C} à 60^{\circ} \mathrm{C}. Adiciona-se nesse calorímetro uma massa de 100 g e de calor específico 0,1 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C} à temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Qual será a temperatura de equilíbrio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Capacidade térmica do calorímetro: C_{\text{cal}} = 10\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
  • Substância 1 (já no calorímetro): massa m_1 = 200\\ \mathrm{g}, calor específico c_1 = 0,2\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}, temperatura inicial T_1 = 60^\circ\mathrm{C}.
  • Substância 2 (adicionada): massa m_2 = 100\\ \mathrm{g}, calor específico c_2 = 0,1\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}, temperatura inicial T_2 = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: encontrar a temperatura de equilíbrio T_f.
Observação importante retirada do enunciado: o calorímetro inicialmente está à mesma temperatura da substância que nele se encontra, portanto o calorímetro começa a 60^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, calma — juntos a gente entende):
  • Calor trocado por um corpo com massa m, calor específico c e variação de temperatura \Delta T é dado por
Q = m c \Delta T,
onde \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}}. Unidades: Q em calorias se m em gramas e c em \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
  • Para um calorímetro descrito pela sua capacidade térmica C_{\text{cal}} (unidade \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}), o calor absorvido ou cedido ao variar a temperatura é
Q_{\text{cal}} = C_{\text{cal}} \Delta T.
  • Princípio de conservação de energia térmica (num processo isolado): a soma dos calores trocados é zero:
\sum Q = 0.
Ou seja, o calor total cedido por corpos quentes é igual ao calor total absorvido por corpos frios.
  • Convenção de sinais: se \Delta T for negativo (corpo esfria), Q fica negativo (cedeu calor); se \Delta T for positivo, Q é positivo (absorveu calor). Ao montar a soma \sum Q = 0 não é preciso forçar sinais: basta escrever Q de cada um com \Delta T = T_f - T_{\text{inicial}} e somar.

Passo 3

Montar a equação de conservação de energia com todos os termos:
  • Calor trocado pela substância 1:
Q_1 = m_1 c_1 (T_f - T_1).
  • Calor trocado pelo calorímetro:
Q_{\text{cal}} = C_{\text{cal}} (T_f - T_1),
porque o calorímetro começa à mesma temperatura T_1=60^\circ\mathrm{C}.
  • Calor trocado pela substância 2:
Q_2 = m_2 c_2 (T_f - T_2).
Conservação:
Q_1 + Q_{\text{cal}} + Q_2 = 0.

Passo 4

Substituir os valores numéricos passo a passo.
Calor específico multiplicado pela massa (capacidade térmica equivalente de cada substância):
m_1 c_1 = 200 \cdot 0,2 = 40\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C},
m_2 c_2 = 100 \cdot 0,1 = 10\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
Agora escrevemos a equação com esses números:
40\,(T_f - 60) + 10\,(T_f - 60) + 10\,(T_f - 30) = 0.
(Note que somei m_1 c_1 com C_{\text{cal}} porque ambos iniciam a 60^\circ\mathrm{C}: 40 e 10 aparecem com (T_f-60).)

Passo 5

Resolver a equação algebricamente, mostrando todos os passos:
Primeiro combinar termos:
(40 + 10)(T_f - 60) + 10(T_f - 30) = 0,
ou seja
50(T_f - 60) + 10(T_f - 30) = 0.
Expandir:
50T_f - 3000 + 10T_f - 300 = 0.
Somar os termos semelhantes:
60T_f - 3300 = 0.
Isolar T_f:
60T_f = 3300,
T_f = \frac{3300}{60} = 55.
Verificação rápida (sanity check): T_f=55^\circ\mathrm{C} está entre 30^\circ\mathrm{C} e 60^\circ\mathrm{C}, mais próximo de 60^\circ\mathrm{C} porque a parte quente (substância + calorímetro) tem maior capacidade térmica total que a parte fria — faz sentido físico.

Resposta

55^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados