Um motorista colocou 50 litros de combustível no tanque de seu carro, pela manhã, quando a temperatura era de 22^{\circ} \mathrm{C}. O tanque do carro ficou completamente cheio. O carro foi deixado num estacionamento e ao retira-lo à tarde, quando os termômetros indicavam 32^{\circ} \mathrm{C}, notou o que houve um derramamento de combustível. Sendo o coeficiente de dilatação volumétrica do material que constitui o tanque igual a 60 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e 9,0 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} o coeficiente de dilatação volumétrica do combustível, determine o volume de combustível que extravasou.
Resposta: 0,42 litros

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede quanto combustível extravasou:
  • Volume inicial de combustível no tanque: V_0 = 50 litros (tanque completamente cheio pela manhã).
  • Temperatura inicial: T_i = 22^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_f = 32^\circ\mathrm{C}.
  • Variação de temperatura: \Delta T = T_f - T_i.
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do material do tanque: \beta_{\text{tanque}} = 60\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do combustível: \beta_{\text{comb}} = 9{,}0\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O que se pede: determinar o volume de combustível que extravasou quando a temperatura aumentou de 22^\circ\mathrm{C} para 32^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando bem o que significa cada coisa).
Quando um volume inicial V_0 sofre uma variação de temperatura \Delta T, seu novo volume V pode ser aproximado, para variações pequenas de temperatura, por:
V = V_0\,(1+\beta\,\Delta T).
Aqui:
  • V_0 é o volume à temperatura inicial;
  • \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica (número que diz quanto o volume varia por grau Celsius, em unidades de ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • \Delta T é a variação de temperatura, em ^\circ\mathrm{C};
  • V é o volume na nova temperatura.
Comentário prático: tanto o combustível quanto o volume interno do tanque aumentam com a temperatura, mas cada um com seu \beta. Se o combustível aumenta mais do que o tanque, a diferença de volumes é o que extravasa.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dois corpos (combustível e tanque). Como o tanque estava cheio, o volume interno inicial do tanque é V_0 também. Então:
  • volume do combustível à tarde:
V_{\text{comb, final}} = V_0\,(1+\beta_{\text{comb}}\,\Delta T).
  • volume interno do tanque à tarde:
V_{\text{tanque, final}} = V_0\,(1+\beta_{\text{tanque}}\,\Delta T).
O volume que extravasa (positivo se o combustível ficou maior que o tanque) é
\Delta V = V_{\text{comb, final}}-V_{\text{tanque, final}}.

Passo 4

Algebra para simplificar \Delta V:
\Delta V = V_0\big(1+\beta_{\text{comb}}\,\Delta T\big)-V_0\big(1+\beta_{\text{tanque}}\,\Delta T\big) = V_0\big(\beta_{\text{comb}}-\beta_{\text{tanque}}\big)\Delta T.
Ou seja, a diferença depende da diferença entre os coeficientes, da variação de temperatura e do volume inicial.

Passo 5

Agora calculamos numericamente. Primeiro a variação de temperatura:
\Delta T = 32^\circ\mathrm{C}-22^\circ\mathrm{C}=10^\circ\mathrm{C}.
Diferença entre os coeficientes:
\beta_{\text{comb}}-\beta_{\text{tanque}} = 9{,}0\times10^{-4}-60\times10^{-6}.
Vamos escrever ambos na mesma ordem de grandeza: 60\times10^{-6}=0{,}00006 e 9{,}0\times10^{-4}=0{,}0009. Portanto
\beta_{\text{comb}}-\beta_{\text{tanque}} = 0{,}0009-0{,}00006=0{,}00084=8{,}4\times10^{-4}.
Agora
\Delta V = V_0\big(\beta_{\text{comb}}-\beta_{\text{tanque}}\big)\Delta T = 50\cdot 8{,}4\times10^{-4}\cdot 10.
Calcule passo a passo:
8{,}4\times10^{-4}\cdot 10 = 8{,}4\times10^{-3},
50\cdot 8{,}4\times10^{-3} = 50\cdot 0{,}0084 = 0{,}42.
A unidade é a mesma do volume inicial, ou seja, litros.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo: o resultado significa que, ao aquecer de 22^\circ\mathrm{C} para 32^\circ\mathrm{C}, o combustível cresceu mais do que o tanque por causa do coeficiente volumétrico maior, e sobrou exatamente o que transbordou. Mandou bem de trazer esta questão — é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova e é resolvido com cuidado nas unidades.

Resposta

0,42 litros

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