Um eixo de ferro ( \alpha_{\mathrm{Fe}}=1,2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) tem diâmetro de 10,05 \mathrm{~cm} e um anel de alumínio ( \alpha_{\mathrm{Al}}=2,4 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) tem diâmetro de 10,00 \mathrm{~cm} quando a temperatura ambiente é 20^{\circ} \mathrm{C}. Para encaixar o anel sobre o eixo, determine a que temperatura deve-se aquecer:
simultaneamente o anel e o eixo.

Passo 1

O enunciado pede a que temperatura deve-se aquecer, simultaneamente, o anel de alumínio e o eixo de ferro para que o anel encaixe sobre o eixo. Dados fornecidos (temperatura inicial T_0 é 20^\circ\mathrm{C}):
  • Coeficiente de dilatação linear do ferro: \alpha_{\mathrm{Fe}}=1,2\times10^{-5}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \alpha_{\mathrm{Al}}=2,4\times10^{-5}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
  • Diâmetro inicial do eixo de ferro: D_{\mathrm{Fe},0}=10,05\\ \mathrm{cm} (a 20^\circ\mathrm{C}).
  • Diâmetro interno inicial do anel de alumínio: D_{\mathrm{Al},0}=10,00\\ \mathrm{cm} (a 20^\circ\mathrm{C}).
O que se precisa encontrar: a temperatura T (ou a variação \Delta T=T-T_0) mínima tal que o anel possa encaixar sobre o eixo, isto é, tal que o diâmetro interno do anel seja pelo menos igual ao diâmetro do eixo após aquecimento.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): corpos sólidos se expandem quando aquecidos. Para mudanças de temperatura moderadas, a variação do comprimento linear (ou de qualquer dimensão linear, como diâmetro) é proporcional à temperatura e ao comprimento inicial. A fórmula da dilatação linear é:
L(T)=L_0\bigl(1+\alpha\,(T-T_0)\bigr),
onde
  • L(T) é o comprimento (ou diâmetro) à temperatura T,
  • L_0 é o comprimento (ou diâmetro) à temperatura inicial T_0,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade {}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}),
  • (T-T_0) é a variação de temperatura, que chamaremos \Delta T.
No nosso problema, aplicamos essa fórmula aos diâmetros do anel e do eixo, porque diâmetro é uma dimensão linear.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se um barra de 100\\ \mathrm{cm} com \alpha=1\times10^{-5}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1} for aquecida em \Delta T=100^\circ\mathrm{C}, o novo comprimento seria
100\bigl(1+1\times10^{-5}\cdot100\bigr)=100(1+0,001)=100,1\\ \mathrm{cm},
ou seja, aumentou 0,1\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Aplicar a fórmula aos diâmetros do anel e do eixo. Denotando \Delta T=T-T_0, temos:
Diâmetro do anel de alumínio à temperatura T:
D_{\mathrm{Al}}(T)=D_{\mathrm{Al},0}\bigl(1+\alpha_{\mathrm{Al}}\Delta T\bigr).
Diâmetro do eixo de ferro à temperatura T:
D_{\mathrm{Fe}}(T)=D_{\mathrm{Fe},0}\bigl(1+\alpha_{\mathrm{Fe}}\Delta T\bigr).
Para que o anel encaixe, precisamos de
D_{\mathrm{Al}}(T)\ge D_{\mathrm{Fe}}(T).
A condição limite (temperatura mínima) ocorre quando são iguais; então igualamos:
D_{\mathrm{Al},0}\bigl(1+\alpha_{\mathrm{Al}}\Delta T\bigr)=D_{\mathrm{Fe},0}\bigl(1+\alpha_{\mathrm{Fe}}\Delta T\bigr).

Passo 4

Agora fazemos a álgebra para isolar \Delta T. Expandindo e rearranjando:
D_{\mathrm{Al},0}+D_{\mathrm{Al},0}\alpha_{\mathrm{Al}}\Delta T = D_{\mathrm{Fe},0}+D_{\mathrm{Fe},0}\alpha_{\mathrm{Fe}}\Delta T.
Passando os termos com \Delta T para um lado e os termos sem para o outro:
\bigl(D_{\mathrm{Al},0}\alpha_{\mathrm{Al}}-D_{\mathrm{Fe},0}\alpha_{\mathrm{Fe}}\bigr)\Delta T = D_{\mathrm{Fe},0}-D_{\mathrm{Al},0}.
Logo
\Delta T=\frac{D_{\mathrm{Fe},0}-D_{\mathrm{Al},0}}{D_{\mathrm{Al},0}\alpha_{\mathrm{Al}}-D_{\mathrm{Fe},0}\alpha_{\mathrm{Fe}}}.
Essa fórmula é óbvia pelo balanço: numerador é a folga inicial que precisa ser vencida ( D_{\mathrm{Fe},0}-D_{\mathrm{Al},0}) e denominador é a taxa relativa de aumento do diâmetro do anel em relação ao do eixo por grau.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (atenção às unidades: todos em \mathrm{cm} e {}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}). Usaremos vírgula como separador decimal conforme convenção do enunciado:
D_{\mathrm{Fe},0}=10,05\\ \mathrm{cm},\qquad D_{\mathrm{Al},0}=10,00\\ \mathrm{cm},
\alpha_{\mathrm{Fe}}=1,2\times10^{-5}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1},\qquad \alpha_{\mathrm{Al}}=2,4\times10^{-5}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
Calcule o denominador passo a passo:
D_{\mathrm{Al},0}\,\alpha_{\mathrm{Al}}=10,00\times2,4\times10^{-5}=2,4\times10^{-4}=0,00024,
D_{\mathrm{Fe},0}\,\alpha_{\mathrm{Fe}}=10,05\times1,2\times10^{-5}=1,206\times10^{-4}=0,0001206.
Diferença:
D_{\mathrm{Al},0}\alpha_{\mathrm{Al}}-D_{\mathrm{Fe},0}\alpha_{\mathrm{Fe}}=0,00024-0,0001206=0,0001194.
Numerador (folga inicial):
D_{\mathrm{Fe},0}-D_{\mathrm{Al},0}=10,05-10,00=0,05\\ \mathrm{cm}.
Portanto
\Delta T=\frac{0,05}{0,0001194}\approx418,41\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretando o resultado: \Delta T é a variação de temperatura acima de 20^\circ\mathrm{C}. A temperatura absoluta necessária T é
T=T_0+\Delta T=20^\circ\mathrm{C}+418,41^\circ\mathrm{C}\approx438,41^\circ\mathrm{C}.
Isso significa que, aquecendo simultaneamente o anel e o eixo até aproximadamente 438^\circ\mathrm{C}, o anel terá o mesmo diâmetro interno que o eixo, permitindo o encaixe (na prática é comum aquecer só o anel ou resfriar o eixo para reduzir a temperatura necessária; aqui o problema exigiu aquecer ambos).

Resposta

T\approx438,4^\circ\mathrm{C}

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