Um eixo de ferro (
) tem diâmetro de
e um anel de alumínio (
) tem diâmetro de
quando a temperatura ambiente é
. Para encaixar o anel sobre o eixo, determine a que temperatura deve-se aquecer:
simultaneamente o anel e o eixo.
simultaneamente o anel e o eixo.
Passo 1
O enunciado pede a que temperatura deve-se aquecer, simultaneamente, o anel de alumínio e o eixo de ferro para que o anel encaixe sobre o eixo. Dados fornecidos (temperatura inicial
é
):
- Coeficiente de dilatação linear do ferro:
. - Coeficiente de dilatação linear do alumínio:
. - Diâmetro inicial do eixo de ferro:
(a ). - Diâmetro interno inicial do anel de alumínio:
(a ).
O que se precisa encontrar: a temperatura
(ou a variação
) mínima tal que o anel possa encaixar sobre o eixo, isto é, tal que o diâmetro interno do anel seja pelo menos igual ao diâmetro do eixo após aquecimento.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): corpos sólidos se expandem quando aquecidos. Para mudanças de temperatura moderadas, a variação do comprimento linear (ou de qualquer dimensão linear, como diâmetro) é proporcional à temperatura e ao comprimento inicial. A fórmula da dilatação linear é:
onde
-
é o comprimento (ou diâmetro) à temperatura , -
é o comprimento (ou diâmetro) à temperatura inicial , -
é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade ), -
é a variação de temperatura, que chamaremos .
No nosso problema, aplicamos essa fórmula aos diâmetros do anel e do eixo, porque diâmetro é uma dimensão linear.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se um barra de
com
for aquecida em
, o novo comprimento seria
ou seja, aumentou
.
Passo 3
Aplicar a fórmula aos diâmetros do anel e do eixo. Denotando
, temos:
Diâmetro do anel de alumínio à temperatura
:
Diâmetro do eixo de ferro à temperatura
:
Para que o anel encaixe, precisamos de
A condição limite (temperatura mínima) ocorre quando são iguais; então igualamos:
Passo 4
Agora fazemos a álgebra para isolar
. Expandindo e rearranjando:
Passando os termos com
para um lado e os termos sem para o outro:
Logo
Essa fórmula é óbvia pelo balanço: numerador é a folga inicial que precisa ser vencida (
) e denominador é a taxa relativa de aumento do diâmetro do anel em relação ao do eixo por grau.
Passo 5
Substituir os valores numéricos (atenção às unidades: todos em
e
). Usaremos vírgula como separador decimal conforme convenção do enunciado:
Calcule o denominador passo a passo:
Diferença:
Numerador (folga inicial):
Portanto
Passo 6
Interpretando o resultado:
é a variação de temperatura acima de
. A temperatura absoluta necessária
é
Isso significa que, aquecendo simultaneamente o anel e o eixo até aproximadamente
, o anel terá o mesmo diâmetro interno que o eixo, permitindo o encaixe (na prática é comum aquecer só o anel ou resfriar o eixo para reduzir a temperatura necessária; aqui o problema exigiu aquecer ambos).