Numa cámara de combustão, O_{2} difunde-se do ar atmostérico para a superticie de particulas estéricas de carvāo com diámetro de 3,0 \mathrm{~mm} e reage. Admita que a reação é instantânea e ocorre apenas na superticie. Assumindo que o processo ocorre em estado estacionário, a 1 atm e 700^{\circ} \mathrm{C}, e que ao redor das particulas sólidas há uma camada estagnante muito espessa:
(a) (2,0) Escreva o perfil de concentração de \mathrm{O}_{2} para reaçāo 3 \mathrm{C}_{(s)}+2 \mathrm{O}_{2(g)} \rightarrow 2 \mathrm{CO}_{(g)}+\mathrm{CO}_{2(g)} :
(b) (2,0) Calcule a taxa de consumo de \mathrm{O}_{2}\left(D_{\mathrm{O}_{2}, \mathrm{ar}}=1,13 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}\right).

Passo 1

O enunciado pede o perfil de concentração de \mathrm{O_2} em torno de uma partícula esférica de carvão de diâmetro d=3,0\,\mathrm{mm} onde a reação é instantânea (logo a concentração de \mathrm{O_2} na superfície é zero) e ocorre difusão estacionária através de um filme gasoso espesso. Para resolver vamos usar a equação de difusão esférica em estado estacionário e a condição de contorno em r=a (raio da partícula) e r\to\infty.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, a equação de difusão estacionária sem geração é
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{dc}{dr}\Bigr)=0.
Integrando uma vez obtemos
r^2\frac{dc}{dr}=A,
onde A é constante de integração.

Passo 3

Dividindo e integrando de novo,
\frac{dc}{dr}=\frac{A}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad c(r)= -\frac{A}{r}+B,
sendo B outra constante de integração.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno:
c(r\to\infty)=c_\infty B=c_\infty,
c(r=a)=0 0=-A/a + c_\infty A=a\,c_\infty.
Logo o perfil é
\boxed{\,c(r)=c_\infty\Bigl(1-\frac{a}{r}\Bigr)\,.}

Passo 5

O fluxo molar de \mathrm{O_2} na superfície é dado por
N_A=-D_{\!O_2,ar}\left.\frac{dc}{dr}\right|_{r=a} =-D_{\!O_2,ar}\frac{c_\infty\,a}{a^2} =-D_{\!O_2,ar}\frac{c_\infty}{a}.
O consumo total por partícula é
\dot n_{O_2} =4\pi a^2\,N_A =4\pi a^2\;D_{\!O_2,ar}\;\frac{c_\infty}{a} =4\pi\,a\,D_{\!O_2,ar}\,c_\infty.

Passo 6

Calculamos c_\infty da mistura ar– \mathrm{O_2} a 1\,\mathrm{atm}, 700^{\circ}\mathrm{C}=973\,\mathrm K e fração molar y_{O_2}=0,21:
c_\infty =\frac{y_{O_2}P}{RT} =\frac{0,21\,(1{,}01325\times10^{5}\,\mathrm{Pa})} {8{,}314\,\mathrm{J/(mol\,K)}\times973\,\mathrm K} \approx2{,}63\;\mathrm{mol/m^3}.
O raio da partícula é
a=\frac{d}{2}=1{,}5\,\mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-3}\,\mathrm m,
e D_{\!O_2,ar}=1{,}13\,\mathrm{cm^2/s}=1{,}13\times10^{-4}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 7

Substituindo em \dot n_{O_2}=4\pi\,a\,D_{\!O_2,ar}\,c_\infty:
\dot n_{O_2} =4\pi\,(1{,}5\times10^{-3})\,(1{,}13\times10^{-4})\,(2{,}63) \approx5{,}6\times10^{-6}\;\mathrm{mol/s}.

Resposta

(a) c(r)=c_\infty\Bigl(1-\frac{a}{r}\Bigr), \quad a=\frac{3{,}0\,\mathrm{mm}}{2}=1{,}5\,\mathrm{mm}.
(b) \dot n_{O_2} =4\pi\,a\,D_{\!O_2,ar}\,c_\infty \approx5{,}6\times10^{-6}\;\mathrm{mol/s\\ per\\ particle}.

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