Considere um sistema de três partículas não-interagentes confinadas em um poço infinito unidimensional de largura
. As partículas devem ser distribuídas nos três primeiros níveis de energia (
), com exatamente uma partícula em cada nível.
a)
Escreva as funções de onda completas (espacial e de spin, quando aplicável) para o primeiro e segundo estado do sistema quando as três partículas são:
(i) Partículas distinguíveis
(ii) Bósons idênticos de spin zero
(iii) Férmions idênticos de spin
b) ( 1 pt) Calcule a energia total para os estados de cada um dos três casos anteriores. Compare e explique fisicamente as diferenças (ou semelhanças) encontradas.
a)
(i) Partículas distinguíveis
(ii) Bósons idênticos de spin zero
(iii) Férmions idênticos de spin
b) ( 1 pt) Calcule a energia total para os estados de cada um dos três casos anteriores. Compare e explique fisicamente as diferenças (ou semelhanças) encontradas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Temos um poço infinito unidimensional de largura
. - Três partículas não-interagentes confinadas nesse poço.
- As partículas devem ocupar exatamente os três primeiros níveis de energia:
— ou seja, no conjunto há exatamente uma partícula em cada nível. - Parte (a): escrever as funções de onda completas (parte espacial e parte de spin, quando aplicável) para o primeiro e segundo estado do sistema nos três casos:
(i) partículas distinguíveis; (ii) bósons idênticos de spin zero; (iii) férmions idênticos de spin. - Parte (b): calcular a energia total para os estados de cada um dos três casos e comentar as diferenças/semelhanças físicas.
Observações importantes (para eu saber o que vou construir nos próximos passos): a ocupação dos níveis está fixa (1 em cada), então a soma das energias individuais é a mesma independentemente das permutações; mas a construção do estado (simetrização / anti-simetrização / inclusão do spin) vai mudar o número de estados distintos (degeneração) e a forma das funções de onda.
Passo 2
Relembrando a base de single-particle (fórmulas usadas):
- No poço infinito de
os autovalores e autofunções single-particle são
- A energia de cada nível é
Explicação curta:
vem da resolução da equação de Schrödinger com condições
; o fator
normaliza a função no intervalo
. Aqui
é a massa da partícula e
a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Caso (i) — partículas distinguíveis.
- Para partículas distinguíveis os estados muitos-corpos são produtos simples das autofunções single-particle, rotuladas por qual partícula ocupa qual nível. Exemplo de notação:
é a função do nível para a coordenada da partícula . - Um estado possível (vou chamá-lo de “primeiro estado”) é:
Esse produto já está normalizado porque cada
é normalizada e as partículas são independentes (produto de normalizados é normalizado).
- Um segundo estado ortonormal possível (troca-se as ocupações entre as partículas 2 e 3, por exemplo) é:
- Observação física e degenerescência: como as três partículas ocupam os níveis
de forma que cada nível está ocupado por exatamente uma partícula, existem permutações possíveis — logo, para partículas distinguíveis há uma degenerescência 6 linearmente independentes com a mesma energia total (cada permutação dá um estado ortonormal distinto).
Passo 4
Caso (ii) — bósons idênticos de spin zero.
- Regras para bósons idênticos: o estado total deve ser simétrico sob troca de quaisquer duas partículas. Como aqui os bósons têm spin zero, não há parte de spin; a função de onda completa é puramente espacial e deve ser totalmente simétrica.
- Tomemos a combinação simétrica construída a partir do produto
. A projeção simétrica (normalizada) é a soma sobre todas as permutações dos rótulos das partículas, com fator de normalização (pois há 6 permutações):
onde a soma percorre todas as permutações
do conjunto
e, por exemplo, para a permutação identidade
temos o termo
.
- Esse
é o único (até fase) estado totalmente simétrico construído com as três orbitais distintas . Em termos de dimensão: o subespaço simétrico gerado por permutações dessas três orbitais é de dimensão 1. Portanto: - Primeiro estado (bósons): escolhemos
. - Segundo estado (bósons): não existe outro estado simétrico independente que utilize exatamente as orbitais
uma vez cada — isto é, dentro da restrição “uma partícula por nível ” há apenas uma combinação simétrica independente. Logo não há um segundo estado simétrico com a mesma configuração orbital; a próxima função simétrica ortogonal exigiria outras orbitais (ou ocupações diferentes), o que sai da condição do enunciado.
- Primeiro estado (bósons): escolhemos
Passo 5
Caso (iii) — férmions idênticos de spin
.
- Regras para férmions: o estado total (espaço + spin) deve ser anti-simétrico sob troca de quaisquer duas partículas.
- Como as três partículas ocupam orbitais distintos
, uma maneira natural de construir a parte espacial que seja anti-simétrica é usar o determinante de Slater formado pelas autofunções . Esse determinante é proporcional a
onde
é o sinal da permutação
. Esse estado espacial é normalizado (fator
) e é totalmente anti-simétrico.
- Para que o produto total seja anti-simétrico, se a parte espacial já é anti-simétrica, a parte de spin precisa ser simétrica (pois anti
simétrico = anti). Logo devemos escolher funções de spin totalmente simétricas para as três spins . - Construa explicitamente as quatro componentes do estado de spin totalmente simétrico (spin total
, quartetos), que são: -
. -
. -
. -
.
Essas são ortonormais entre si e totalmente simétricas (troca de qualquer par de partículas não muda o sinal).
-
- Então os estados muitos-corpos válidos (anti-simétricos) são obtidos multiplicando a parte espacial antisêmica
por cada uma dessas funções de spin simétricas. Podemos escolher como “primeiro” e “segundo” estados duas dessas combinações diferentes (por exemplo, diferentes projeções ): - Primeiro estado (férmions):
onde . - Segundo estado (férmions):
- Observação sobre degenerescência numérica: como a parte espacial é única (o determinante dado pelas três orbitais), a degenerescência vem das diferentes funções de spin simétricas. Aqui temos 4 estados (quarteto
), logo degenerescência 4. Note que não são permitidas combinações com spin de simetria mista sem compensar a parte espacial de forma a manter anti-simetria total; a construção com determinante espacial + spin simétrico é a mais direta e garante a boa simetria.
Passo 6
Cálculo da energia total (parte b) e comparação física.
- A energia total do sistema quando as partículas ocupam
(cada uma uma vez) é simplesmente a soma das energias single-particle:
- Observação física: essa energia numérica é a mesma para os três casos (distinguíveis, bósons spin zero, férmions spin
) porque a ocupação dos níveis foi fixada pelo enunciado; independentemente de como a função total é (anti-)simetrizada, a soma das energias dos orbitais ocupados é a mesma. - Diferenças físicas importantes que surgem apesar da mesma energia:
- Para partículas distinguíveis: existe degenerescência
(todas as permutações das ocupações produzem estados ortogonais com a mesma energia). - Para bósons spin zero: só existe uma combinação espacial totalmente simétrica obtida das três orbitais distintas — degenerescência
(dentro da restrição dada). - Para férmions spin
: a parte espacial anti-simétrica (determinante) combinada com a parte de spin totalmente simétrica gera um multiplet de spin com estados — degenerescência . - Em suma: a energia é igual porque os orbitais ocupados são os mesmos; o que muda entre os casos é a contagem de estados possíveis (degenerescência) e a forma explícita da função de onda (simétrica, anti-simétrica ou produto simples), devido ao princípio de indistinguibilidade e à estatística quântica (boltzmanniana, bose-einstein, fermi-dirac) e, no caso de férmions, ao papel do spin em garantir a anti-simetria total.
- Para partículas distinguíveis: existe degenerescência
Resposta
(a)(i)
\
.
(a)(ii)
. \
Segundo estado (bósons): não existe outro estado independente e simétrico usando exatamente as orbitais (dimensão do subespaço simétrico neste caso é 1).
Segundo estado (bósons): não existe outro estado independente e simétrico usando exatamente as orbitais
(a)(iii)
. \
com
. \
com
.
(b) Energia total (todos os casos):
Comparação física: a energia é a mesma nos três casos porque as ocupações orbitais são as mesmas; o que difere é a forma do estado e a degenerescência: distinguíveis
-degenerado, bósons (spin 0) degenerescência
, férmions (spin
) degenerescência
(multiplet
).