Considere um sistema de três partículas não-interagentes confinadas em um poço infinito unidimensional de largura L. As partículas devem ser distribuídas nos três primeiros níveis de energia ( n=1,2,3 ), com exatamente uma partícula em cada nível.
a) (1,5) Escreva as funções de onda completas (espacial e de spin, quando aplicável) para o primeiro e segundo estado do sistema quando as três partículas são:
(i) Partículas distinguíveis
(ii) Bósons idênticos de spin zero
(iii) Férmions idênticos de spin 1 / 2
b) ( 1 pt) Calcule a energia total para os estados de cada um dos três casos anteriores. Compare e explique fisicamente as diferenças (ou semelhanças) encontradas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Temos um poço infinito unidimensional de largura L.
  • Três partículas não-interagentes confinadas nesse poço.
  • As partículas devem ocupar exatamente os três primeiros níveis de energia: n=1,2,3 — ou seja, no conjunto \{1,2,3\} há exatamente uma partícula em cada nível.
  • Parte (a): escrever as funções de onda completas (parte espacial e parte de spin, quando aplicável) para o primeiro e segundo estado do sistema nos três casos:
    (i) partículas distinguíveis; (ii) bósons idênticos de spin zero; (iii) férmions idênticos de spin 1/2.
  • Parte (b): calcular a energia total para os estados de cada um dos três casos e comentar as diferenças/semelhanças físicas.
    Observações importantes (para eu saber o que vou construir nos próximos passos): a ocupação dos níveis está fixa (1 em cada n=1,2,3), então a soma das energias individuais é a mesma independentemente das permutações; mas a construção do estado (simetrização / anti-simetrização / inclusão do spin) vai mudar o número de estados distintos (degeneração) e a forma das funções de onda.

Passo 2

Relembrando a base de single-particle (fórmulas usadas):
  • No poço infinito de 0<x<L os autovalores e autofunções single-particle são
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg),\qquad n=1,2,\dots
  • A energia de cada nível é
E_n=\frac{\hbar^{2}\pi^{2} n^{2}}{2 m L^{2}}.
Explicação curta: \psi_n(x) vem da resolução da equação de Schrödinger com condições \psi(0)=\psi(L)=0; o fator \sqrt{2/L} normaliza a função no intervalo [0,L]. Aqui m é a massa da partícula e \hbar a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Caso (i) — partículas distinguíveis.
  • Para partículas distinguíveis os estados muitos-corpos são produtos simples das autofunções single-particle, rotuladas por qual partícula ocupa qual nível. Exemplo de notação: \psi_{n}(x_i) é a função do nível n para a coordenada x_i da partícula i.
  • Um estado possível (vou chamá-lo de “primeiro estado”) é:
\Psi^{(D)}_{1}(x_1,x_2,x_3)=\psi_{1}(x_1)\,\psi_{2}(x_2)\,\psi_{3}(x_3).
Esse produto já está normalizado porque cada \psi_n é normalizada e as partículas são independentes (produto de normalizados é normalizado).
  • Um segundo estado ortonormal possível (troca-se as ocupações entre as partículas 2 e 3, por exemplo) é:
\Psi^{(D)}_{2}(x_1,x_2,x_3)=\psi_{1}(x_1)\,\psi_{3}(x_2)\,\psi_{2}(x_3).
  • Observação física e degenerescência: como as três partículas ocupam os níveis 1,2,3 de forma que cada nível está ocupado por exatamente uma partícula, existem 3!=6 permutações possíveis — logo, para partículas distinguíveis há uma degenerescência 6 linearmente independentes com a mesma energia total (cada permutação dá um estado ortonormal distinto).

Passo 4

Caso (ii) — bósons idênticos de spin zero.
  • Regras para bósons idênticos: o estado total deve ser simétrico sob troca de quaisquer duas partículas. Como aqui os bósons têm spin zero, não há parte de spin; a função de onda completa é puramente espacial e deve ser totalmente simétrica.
  • Tomemos a combinação simétrica construída a partir do produto \psi_1(x)\psi_2(x)\psi_3(x). A projeção simétrica (normalizada) é a soma sobre todas as permutações dos rótulos das partículas, com fator de normalização 1/\sqrt{6} (pois há 6 permutações):
\Psi^{(B)}_{\text{sym}}(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{6}}\sum_{P\in S_3}\psi_{n_{P(1)}}(x_1)\,\psi_{n_{P(2)}}(x_2)\,\psi_{n_{P(3)}}(x_3),
onde a soma percorre todas as permutações P do conjunto \{1,2,3\} e, por exemplo, para a permutação identidade P(i)=i temos o termo \psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3).
  • Esse \Psi^{(B)}_{\text{sym}} é o único (até fase) estado totalmente simétrico construído com as três orbitais distintas 1,2,3. Em termos de dimensão: o subespaço simétrico gerado por permutações dessas três orbitais é de dimensão 1. Portanto:
    • Primeiro estado (bósons): escolhemos \Psi^{(B)}_{1}=\Psi^{(B)}_{\text{sym}}.
    • Segundo estado (bósons): não existe outro estado simétrico independente que utilize exatamente as orbitais n=1,2,3 uma vez cada — isto é, dentro da restrição “uma partícula por nível 1,2,3” há apenas uma combinação simétrica independente. Logo não há um segundo estado simétrico com a mesma configuração orbital; a próxima função simétrica ortogonal exigiria outras orbitais (ou ocupações diferentes), o que sai da condição do enunciado.

Passo 5

Caso (iii) — férmions idênticos de spin 1/2.
  • Regras para férmions: o estado total (espaço + spin) deve ser anti-simétrico sob troca de quaisquer duas partículas.
  • Como as três partículas ocupam orbitais distintos 1,2,3, uma maneira natural de construir a parte espacial que seja anti-simétrica é usar o determinante de Slater formado pelas autofunções \psi_1,\psi_2,\psi_3. Esse determinante é proporcional a
\Psi^{(F)}_{\text{space}}(x_1,x_2,x_3) =\frac{1}{\sqrt{6}}\sum_{P\in S_3}\mathrm{sgn}(P)\,\psi_{n_{P(1)}}(x_1)\,\psi_{n_{P(2)}}(x_2)\,\psi_{n_{P(3)}}(x_3),
onde \mathrm{sgn}(P) é o sinal da permutação P. Esse estado espacial é normalizado (fator 1/\sqrt{6}) e é totalmente anti-simétrico.
  • Para que o produto total seja anti-simétrico, se a parte espacial já é anti-simétrica, a parte de spin precisa ser simétrica (pois anti \times simétrico = anti). Logo devemos escolher funções de spin totalmente simétricas para as três spins 1/2.
  • Construa explicitamente as quatro componentes do estado de spin totalmente simétrico (spin total S=\tfrac{3}{2}, quartetos), que são:
    1. |\chi_{3/2,3/2}\rangle=|\uparrow\uparrow\uparrow\rangle.
    2. |\chi_{3/2,1/2}\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\big(|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle+|\uparrow\downarrow\uparrow\rangle+|\downarrow\uparrow\uparrow\rangle\big).
    3. |\chi_{3/2,-1/2}\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\big(|\downarrow\downarrow\uparrow\rangle+|\downarrow\uparrow\downarrow\rangle+|\uparrow\downarrow\downarrow\rangle\big).
    4. |\chi_{3/2,-3/2}\rangle=|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle.
      Essas são ortonormais entre si e totalmente simétricas (troca de qualquer par de partículas não muda o sinal).
  • Então os estados muitos-corpos válidos (anti-simétricos) são obtidos multiplicando a parte espacial antisêmica \Psi^{(F)}_{\text{space}} por cada uma dessas funções de spin simétricas. Podemos escolher como “primeiro” e “segundo” estados duas dessas combinações diferentes (por exemplo, diferentes projeções M_S):
    • Primeiro estado (férmions):
    \Psi^{(F)}_{1}(x_1,x_2,x_3;\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) =\Psi^{(F)}_{\text{space}}(x_1,x_2,x_3)\;|\chi_{3/2,3/2}\rangle,onde |\chi_{3/2,3/2}\rangle=|\uparrow\uparrow\uparrow\rangle.
    • Segundo estado (férmions):
    \Psi^{(F)}_{2}(x_1,x_2,x_3;\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) =\Psi^{(F)}_{\text{space}}(x_1,x_2,x_3)\;|\chi_{3/2,1/2}\rangle.
  • Observação sobre degenerescência numérica: como a parte espacial é única (o determinante dado pelas três orbitais), a degenerescência vem das diferentes funções de spin simétricas. Aqui temos 4 estados (quarteto S=\tfrac{3}{2}), logo degenerescência 4. Note que não são permitidas combinações com spin de simetria mista sem compensar a parte espacial de forma a manter anti-simetria total; a construção com determinante espacial + spin simétrico é a mais direta e garante a boa simetria.

Passo 6

Cálculo da energia total (parte b) e comparação física.
  • A energia total do sistema quando as partículas ocupam n=1,2,3 (cada uma uma vez) é simplesmente a soma das energias single-particle:
E_{\text{total}}=E_1+E_2+E_3 =\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\big(1^2+2^2+3^2\big) =\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\cdot 14 =\frac{14\hbar^2\pi^2}{2mL^2} =\frac{7\hbar^2\pi^2}{mL^2}.
  • Observação física: essa energia numérica é a mesma para os três casos (distinguíveis, bósons spin zero, férmions spin 1/2) porque a ocupação dos níveis foi fixada pelo enunciado; independentemente de como a função total é (anti-)simetrizada, a soma das energias dos orbitais ocupados é a mesma.
  • Diferenças físicas importantes que surgem apesar da mesma energia:
    • Para partículas distinguíveis: existe degenerescência 6 (todas as permutações das ocupações produzem estados ortogonais com a mesma energia).
    • Para bósons spin zero: só existe uma combinação espacial totalmente simétrica obtida das três orbitais distintas — degenerescência 1 (dentro da restrição dada).
    • Para férmions spin 1/2: a parte espacial anti-simétrica (determinante) combinada com a parte de spin totalmente simétrica gera um multiplet de spin S=\tfrac{3}{2} com 2S+1=4 estados — degenerescência 4.
    • Em suma: a energia é igual porque os orbitais ocupados são os mesmos; o que muda entre os casos é a contagem de estados possíveis (degenerescência) e a forma explícita da função de onda (simétrica, anti-simétrica ou produto simples), devido ao princípio de indistinguibilidade e à estatística quântica (boltzmanniana, bose-einstein, fermi-dirac) e, no caso de férmions, ao papel do spin em garantir a anti-simetria total.

Resposta

(a)(i) \Psi^{(D)}_{1}(x_1,x_2,x_3)=\psi_{1}(x_1)\,\psi_{2}(x_2)\,\psi_{3}(x_3) \
\Psi^{(D)}_{2}(x_1,x_2,x_3)=\psi_{1}(x_1)\,\psi_{3}(x_2)\,\psi_{2}(x_3).
(a)(ii) \Psi^{(B)}_{1}(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sum_{P\in S_3}\psi_{n_{P(1)}}(x_1)\,\psi_{n_{P(2)}}(x_2)\,\psi_{n_{P(3)}}(x_3). \
Segundo estado (bósons): não existe outro estado independente e simétrico usando exatamente as orbitais n=1,2,3 (dimensão do subespaço simétrico neste caso é 1).
(a)(iii) \Psi^{(F)}_{\text{space}}(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sum_{P\in S_3}\mathrm{sgn}(P)\,\psi_{n_{P(1)}}(x_1)\,\psi_{n_{P(2)}}(x_2)\,\psi_{n_{P(3)}}(x_3). \
\Psi^{(F)}_{1}=\Psi^{(F)}_{\text{space}}\;|\chi_{3/2,3/2}\rangle com |\chi_{3/2,3/2}\rangle=|\uparrow\uparrow\uparrow\rangle. \
\Psi^{(F)}_{2}=\Psi^{(F)}_{\text{space}}\;|\chi_{3/2,1/2}\rangle com |\chi_{3/2,1/2}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle+|\uparrow\downarrow\uparrow\rangle+|\downarrow\uparrow\uparrow\rangle).
(b) Energia total (todos os casos): E_{\text{total}}=E_1+E_2+E_3=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}(1+4+9)=\frac{14\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}=\frac{7\hbar^{2}\pi^{2}}{mL^{2}}.
Comparação física: a energia é a mesma nos três casos porque as ocupações orbitais são as mesmas; o que difere é a forma do estado e a degenerescência: distinguíveis 6-degenerado, bósons (spin 0) degenerescência 1, férmions (spin 1/2) degenerescência 4 (multiplet S=\tfrac{3}{2}).

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