O fusível de um circuito elétrico que alimenta um chuveiro elétrico é projetado para fundir, abrindo o circuito, se a corrente ultrapassar certo valor. Suponha que o material a ser usado em um fusível funde quando a densidade de corrente ultrapassa 440 \mathrm{~A} / \mathrm{cm}^{2}.
(a) (0,5) Que diâmetro de fio cilíndrico deve ser usado para fazer um fusível que limite a corrente a 10,0 \mathrm{~A} ?
(b) (0,5) Suponha que o chuveiro elétrico é ligada a uma tomada de parede de 220 V . Qual a máxima potência do chuveiro que pode ser instalado no circuito acima?
(c) (0,5) Qual é o valor da resistência do chuveiro de potência máxima da letra (b)?
(d) (0,5) Quanto custa tomar banhos diários, de aproximadamente meia hora de duração, durante um mês de 30 dias? Suponha que o preço da energia elétrica é \mathrm{R} 0,60 / \mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}$

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos para não nos perdermos.
Perguntas do enunciado:
  1. (a) Qual o diâmetro do fio cilíndrico do fusível, de modo que ele funda quando a corrente for 10,0\\ \mathrm{A}, sabendo que o material funde quando a densidade de corrente passa de 440\\ \mathrm{A}/\mathrm{cm}^2 ?
  2. (b) Se a tomada fornece 220\\ \mathrm{V}, qual a potência máxima do chuveiro que pode ser instalada (assumindo que o fusível é o limitador de corrente) ?
  3. (c) Qual a resistência elétrica do chuveiro de potência máxima encontrada em (b) ?
  4. (d) Qual o custo de banhos diários de meia hora durante um mês de 30 dias, usando o chuveiro de potência máxima, com preço de energia R\$0,60/\mathrm{kW\cdot h} ?
Dados fornecidos (relevantes):
  • corrente máxima antes do fusível fundir: I_{\text{max}} = 10,0\\ \mathrm{A};
  • densidade de corrente crítica: j_{\text{crit}} = 440\\ \mathrm{A}/\mathrm{cm}^2;
  • tensão da tomada: V = 220\\ \mathrm{V};
  • tempo do banho diário: t_{\text{banho}} = 0,5\\ \mathrm{h};
  • dias no mês: 30;
  • preço da energia: c = R\$0,60/\mathrm{kW\cdot h}.
Não vou resolver ainda: apenas identifiquei o que é pedido e quais dados vamos usar.

Passo 2

Entendendo e montando a fórmula para o diâmetro do fusível (parte a).
Conceito importante: densidade de corrente j é a corrente elétrica por unidade de área da seção transversal do fio. A definição é
j=\frac{I}{A},
onde
  • j é a densidade de corrente (aqui em \mathrm{A}/\mathrm{cm}^2),
  • I é a corrente (em \mathrm{A}),
  • A é a área da seção transversal (em \mathrm{cm}^2).
Para um fio cilíndrico, a área da seção transversal é a área de um círculo:
A = \pi r^2,
onde r é o raio do fio. Como o enunciado pede o diâmetro d, usamos r = d/2, então
A = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}.
Queremos que o fusível funda quando I = I_{\text{max}} atinge a densidade máxima j_{\text{crit}}. Assim, igualando:
j_{\text{crit}} = \frac{I_{\text{max}}}{A}.
Despejando A:
A = \frac{I_{\text{max}}}{j_{\text{crit}}}.
E substituindo A=\dfrac{\pi d^2}{4} e resolvendo para d:
\frac{\pi d^2}{4} = \frac{I_{\text{max}}}{j_{\text{crit}}} \quad\Rightarrow\quad d = 2\sqrt{\frac{I_{\text{max}}}{\pi j_{\text{crit}}}}.
Observação de unidades: como j_{\text{crit}} está em \mathrm{A}/\mathrm{cm}^2, é conveniente calcular A em \mathrm{cm}^2 e d em \mathrm{cm}, depois converter para \mathrm{mm} ou \mathrm{m} se quisermos.

Passo 3

Cálculo numérico do diâmetro (continuação da parte a), com contas passo a passo.
Calcule a área necessária:
A=\frac{I_{\text{max}}}{j_{\text{crit}}}=\frac{10{,}0}{440}\\ \mathrm{cm}^2.
Fazendo a divisão:
A \approx 0{,}022727\\ \mathrm{cm}^2.
Agora o diâmetro:
d = 2\sqrt{\frac{I_{\text{max}}}{\pi j_{\text{crit}}}} =2\sqrt{\frac{10{,}0}{\pi\cdot 440}} \\ \mathrm{cm}.
Calcule passo a passo:
\frac{10{,}0}{\pi\cdot 440} \approx 0{,}007233,
\sqrt{0{,}007233} \approx 0{,}08505\\ \mathrm{cm},
d \approx 2\times 0{,}08505 = 0{,}1701\\ \mathrm{cm}.
Converter para unidades práticas:
d \approx 0{,}1701\\ \mathrm{cm} = 1{,}701\\ \mathrm{mm} = 0{,}001701\\ \mathrm{m}.
Arredondando com precisão razoável (três algarismos significativos), podemos usar d\approx 1{,}70\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Cálculo da potência máxima (parte b).
Fórmula básica de potência elétrica em corrente contínua (ou para resistência pura em tensão fixa) é
P = V\cdot I,
onde
  • P é a potência (em \mathrm{W}),
  • V é a tensão (em \mathrm{V}),
  • I é a corrente (em \mathrm{A}).
Usando V=220\\ \mathrm{V} e I=10{,}0\\ \mathrm{A}:
P = 220 \times 10{,}0 = 2200\\ \mathrm{W}.
Em \mathrm{kW}:
P = 2{,}20\\ \mathrm{kW}.
Isso é direto: a corrente máxima permitida pelo fusível determina a potência máxima que o aparelho pode ter sem fazer o fusível abrir.

Passo 5

Cálculo da resistência do chuveiro de potência máxima (parte c).
Lei de Ohm relaciona tensão, corrente e resistência:
V = R\cdot I,
onde R é a resistência elétrica (em \Omega). Despejando R:
R = \frac{V}{I}.
Com V=220\\ \mathrm{V} e I=10{,}0\\ \mathrm{A}:
R = \frac{220}{10{,}0} = 22\\ \Omega.
Verificação alternativa usando P = V^2/R: se P=2200\\ \mathrm{W} e V=220\\ \mathrm{V}, então
R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{2200} = \frac{48400}{2200} = 22\\ \Omega,
mesmo resultado — consistência confirmada.

Passo 6

Cálculo do custo dos banhos mensais (parte d), com explicação das unidades.
Energia consumida por banho:
E_{\text{dia}} = P\cdot t_{\text{banho}},
onde P em \mathrm{kW} e t em \mathrm{h} E em \mathrm{kW\cdot h} (kWh), que é a unidade cobrada pela conta de energia.
Usando P=2{,}20\\ \mathrm{kW} e t_{\text{banho}}=0{,}5\\ \mathrm{h}:
E_{\text{dia}} = 2{,}20 \times 0{,}5 = 1{,}10\\ \mathrm{kWh}.
Energia no mês (30 dias):
E_{\text{mês}} = 30 \times 1{,}10 = 33{,}0\\ \mathrm{kWh}.ê
Custo:
\text{Custo} = E_{\text{mês}} \times c = 33{,}0 \times 0{,}60\\ \mathrm{R\$} = 19{,}8\\ \mathrm{R\$}.ê
Ou seja, aproximadamente R\$19{,}80 por mês.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo (sem novos cálculos).
  • Calculamos o diâmetro do fio a partir da definição de densidade de corrente e da área de um círculo.
  • Usamos as fórmulas básicas: P=VI e R=V/I para potência e resistência.
  • Para o custo, multiplicamos energia por preço por kWh.
    Você fez bem em trazer o exercício — esses tipos de contas caem direto na prova. Vai dar certo: pratique mais alguns exercícios similares (por exemplo, repetir com outra corrente ou outra tensão) que você vai interiorizar os passos.

Resposta

(a) d \approx 0{,}1701\\ \mathrm{cm} \;=\; 1{,}70\\ \mathrm{mm}
(b) P_{\max} = 2200\\ \mathrm{W} \;=\; 2{,}20\\ \mathrm{kW}
(c) R = 22\\ \Omega
(d) Custo mensal = 33{,}0\\ \mathrm{kWh}\times 0{,}60\\ \mathrm{R\$\!/kWh} = R\$19{,}80

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