Um caminhante aleatório começa na posição x=0 e a cada passo tem uma probabilidade de 50 % de se mover uma unidade para a direita (l=+1) e 50 % de se mover uma unidade para a esquerda (l=-1). O movimento para quando ele atinge a posição x=3 ou x=-3. Qual a probabilidade de o caminhante alcançar a posição x=3 antes de alcançar a posição x=-3 ?
11 - Expanda o binômio (2 x-3 y)^5 utilizando o Teorema do Binômio de Newton.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos um caminhante que começa na posição $ x = 0 $ e, a cada passo, tem 50% de chance de ir para a direita ($ l = +1 x = 0 l = -1 $). O caminhar para quando o caminhante atinge $ x = 3 $ ou $ x = -3 $. Queremos descobrir qual a probabilidade de ele chegar a $ x = 3 $ antes de chegar a $ x = -3 $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de processos estocásticos e probabilidade de primeiros passos. Precisaremos entender como calcular probabilidades em caminhos aleatórios com barreiras absorventes.

Passo 2

Vamos definir $ P(x) $ como a probabilidade de o caminhante, começando na posição $ x $, chegar a $ x = 3 $ antes de $ x = -3 $. Nosso objetivo é encontrar $ P(0) $.
Sabemos que:
  • $ P(3) = 1 $ (se ele já está em 3, já chegou).
  • $ P(-3) = 0 $ (se ele está em -3, não vai mais para 3).

Passo 3

Para posições intermediárias, a probabilidade $ P(x) $ depende das probabilidades das próximas posições. Como cada passo é igualmente provável para a direita ou para a esquerda, temos a relação de recorrência:
P(x)

Passo 4

Resolvendo a equação de recorrência:
P(x+1) - 2P(x) + P(x-1) = 0
Essa é uma equação diferencial discreta de segunda ordem. A solução geral dessa equação é uma combinação linear das soluções da equação característica.

Passo 5

A solução geral para $ P(x) $ será da forma:
P(x)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que determinaremos usando as condições de fronteira.

Passo 6

Aplicando as condições de fronteira:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = -3 $:
P(3) = 1 = 3A + B

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
3A + B = 1 -3A + B = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
6A = 1 Rightarrow A = 16
Substituindo $ A $ na segunda equação:
A

Passo 8

Agora temos a expressão para $ P(x) $:
P(x)

Passo 9

Queremos encontrar $ P(0) $:
P(0)

Resposta

A probabilidade de o caminhante alcançar a posição $ x = 3 $ antes de alcançar $ x = -3 $ é de $ \frac{1}{2} $ ou 50%.

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