Um caminhante aleatório começa na posição
e a cada passo tem uma probabilidade de
de se mover uma unidade para a direita
e
de se mover uma unidade para a esquerda
. O movimento para quando ele atinge a posição
ou
. Qual a probabilidade de o caminhante alcançar a posição
antes de alcançar a posição
?
11 - Expanda o binômio
utilizando o Teorema do Binômio de Newton.
11 - Expanda o binômio
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos um caminhante que começa na posição $ x = 0 $ e, a cada passo, tem 50% de chance de ir para a direita ($ l = +1
l = -1 $). O caminhar para quando o caminhante atinge $ x = 3 $ ou $ x = -3 $. Queremos descobrir qual a probabilidade de ele chegar a $ x = 3 $ antes de chegar a $ x = -3 $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de processos estocásticos e probabilidade de primeiros passos. Precisaremos entender como calcular probabilidades em caminhos aleatórios com barreiras absorventes.
Passo 2
Vamos definir $ P(x) $ como a probabilidade de o caminhante, começando na posição $ x $, chegar a $ x = 3 $ antes de $ x = -3 $. Nosso objetivo é encontrar $ P(0) $.
Sabemos que:
- $ P(3) = 1 $ (se ele já está em 3, já chegou).
- $ P(-3) = 0 $ (se ele está em -3, não vai mais para 3).
Passo 3
Para posições intermediárias, a probabilidade $ P(x) $ depende das probabilidades das próximas posições. Como cada passo é igualmente provável para a direita ou para a esquerda, temos a relação de recorrência:
Passo 4
Resolvendo a equação de recorrência:
Essa é uma equação diferencial discreta de segunda ordem. A solução geral dessa equação é uma combinação linear das soluções da equação característica.
Passo 5
A solução geral para $ P(x) $ será da forma:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que determinaremos usando as condições de fronteira.
Passo 6
Aplicando as condições de fronteira:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = -3 $:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo $ A $ na segunda equação:
Passo 8
Agora temos a expressão para $ P(x) $:
Passo 9
Queremos encontrar $ P(0) $:
Resposta
A probabilidade de o caminhante alcançar a posição $ x = 3 $ antes de alcançar $ x = -3 $ é de $ \frac{1}{2} $ ou 50%.