Um caminhante aleatório começa na posição x=0 em uma linha reta. A cada passo, ele se move uma unidade para a direita (l=+1) ou para a esquerda (l=-1), com igual probabilidade. Após 2 passos, quais são as posições possíveis do caminhante e a probabilidade de ele estar em cada uma delas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um caminhante aleatório que começa na posição $ x = 0 $ numa linha reta. A cada passo, ele pode ir para a direita ($ l = +1 x = 0 l = -1 $) com a mesma chance, ou seja, probabilidade igual. A gente precisa descobrir, depois de 2 passos, quais são as posições possíveis onde o caminhante pode estar e qual a probabilidade de cada uma dessas posições acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas combinações de passos o caminhante pode dar em 2 passos. Em cada passo, ele tem 2 opções: direita (+1) ou esquerda (-1). Então, para 2 passos, o total de combinações é:
2 times 2 = 4
Então, temos 4 possíveis sequências de movimentos.

Passo 3

Vamos listar essas 4 sequências e ver onde o caminhante termina:
  1. Primeiro passo +1, segundo passo +1:
    0 + 1 + 1 = 2
    Posição final: $ x = 2 $
  2. Primeiro passo +1, segundo passo -1:
    x = 2
    Posição final: $ x = 0 $
  3. Primeiro passo -1, segundo passo +1:
    0 + 1 - 1 = 0
    Posição final: $ x = 0 $
  4. Primeiro passo -1, segundo passo -1:
    x = 0
    Posição final: $ x = -2 $

Passo 4

Agora, vamos ver quais são as posições finais possíveis e quantas vezes cada uma ocorre nas 4 sequências:
  • $ x = 2 $: 1 vez
  • $ x = 0 $: 2 vezes
  • $ x = -2 $: 1 vez

Passo 5

Como todas as sequências têm a mesma probabilidade de acontecer, que é $ \frac{1}{4} $, podemos calcular a probabilidade de cada posição final:
  • Probabilidade de estar em $ x = 2 $:
    14 ê
  • Probabilidade de estar em $ x = 0 $:
    x = 2 ê
  • Probabilidade de estar em $ x = -2 $:
    14 (1 sequência) ê

Resposta

Após 2 passos, as posições possíveis do caminhante são $ x = -2 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $. A probabilidade de ele estar em cada uma dessas posições é:
  • $ x = -2 $: $ \frac{1}{4} $
  • $ x = 0 $: $ \frac{1}{2} $
  • $ x = 2 $: $ \frac{1}{4} $

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