Um caminhante aleatório começa na posição
uma linha reta. A cada passo, ele se move uma unidade para a direita
ou para a esquerda
, com igual probabilidade. Após 2 passos, quais são as posições possíveis do caminhante e a probabilidade de ele estar em cada uma delas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um caminhante aleatório que começa na posição $ x = 0 $ numa linha reta. A cada passo, ele pode ir para a direita ($ l = +1
l = -1 $) com a mesma chance, ou seja, probabilidade igual. A gente precisa descobrir, depois de 2 passos, quais são as posições possíveis onde o caminhante pode estar e qual a probabilidade de cada uma dessas posições acontecer.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas combinações de passos o caminhante pode dar em 2 passos. Em cada passo, ele tem 2 opções: direita (+1) ou esquerda (-1). Então, para 2 passos, o total de combinações é:
Então, temos 4 possíveis sequências de movimentos.
Passo 3
Vamos listar essas 4 sequências e ver onde o caminhante termina:
-
Primeiro passo +1, segundo passo +1:Posição final: $ x = 2 $
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Primeiro passo +1, segundo passo -1:Posição final: $ x = 0 $
-
Primeiro passo -1, segundo passo +1:Posição final: $ x = 0 $
-
Primeiro passo -1, segundo passo -1:Posição final: $ x = -2 $
Passo 4
Agora, vamos ver quais são as posições finais possíveis e quantas vezes cada uma ocorre nas 4 sequências:
- $ x = 2 $: 1 vez
- $ x = 0 $: 2 vezes
- $ x = -2 $: 1 vez
Passo 5
Como todas as sequências têm a mesma probabilidade de acontecer, que é $ \frac{1}{4} $, podemos calcular a probabilidade de cada posição final:
-
Probabilidade de estar em $ x = 2 $:
-
Probabilidade de estar em $ x = 0 $:
-
Probabilidade de estar em $ x = -2 $:
Resposta
Após 2 passos, as posições possíveis do caminhante são $ x = -2 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $. A probabilidade de ele estar em cada uma dessas posições é:
- $ x = -2 $: $ \frac{1}{4} $
- $ x = 0 $: $ \frac{1}{2} $
- $ x = 2 $: $ \frac{1}{4} $