Um caminhante aleatório começa na posição
uma linha reta. Ele dá 5 passos, mas agora tem
de probabilidade de se mover uma unidade para a direita
e
de probabilidade de se mover uma unidade para a esquerda
cada passo. Qual a probabilidade de o caminhante terminar na posição
após os 5 passos?
Passo 1
Então, temos um caminhante que começa na posição $ x = 0 $ e dará 5 passos em uma linha reta. A cada passo, ele tem $ 60% $ de chance de andar uma unidade para a direita ($ l = +1 $) e $ 40% $ de chance de andar uma unidade para a esquerda ($ l = -1 $). Queremos descobrir qual a probabilidade de ele terminar na posição $ x = 1 $ após os 5 passos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória, especificamente a distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a posição final $ x $ está relacionada com os passos dados. Cada vez que o caminhante se move para a direita ($ +1
-1 $), ele retrocede. Se ele der $ r $ passos para a direita e $ l $ passos para a esquerda, a posição final será:
Como o total de passos é 5, temos $ r + l = 5 $. Podemos substituir $ l $ por $ 5 - r $:
Passo 3
Queremos que a posição final seja $ x = 1 $. Então, igualamos a expressão acima a 1 e resolvemos para $ r $:
Isso significa que o caminhante precisa dar exatamente 3 passos para a direita e, consequentemente, $ 5 - 3 = 2 $ passos para a esquerda.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de o caminhante dar exatamente 3 passos para a direita em 5 tentativas. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade binomial, que é:
Onde:
- $ n = 5 $ (total de passos)
- $ r = 3 $ (passos para a direita)
- $ p = 0.6 $ (probabilidade de dar um passo para a direita)
Passo 5
Calculando o coeficiente binomial $ \binom{5}{3} $:
Agora, aplicamos na fórmula:
Passo 6
Calculando as potências:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de o caminhante terminar na posição $ x = 1 $ após os 5 passos é de $ 34,56% $.