Um caminhante aleatório começa na posição x=0 em uma linha reta. Ele dá 5 passos, mas agora tem 60 % de probabilidade de se mover uma unidade para a direita (l=+1) e 40 % de probabilidade de se mover uma unidade para a esquerda (l=-1) em cada passo. Qual a probabilidade de o caminhante terminar na posição x=1 após os 5 passos?

Passo 1

Então, temos um caminhante que começa na posição $ x = 0 $ e dará 5 passos em uma linha reta. A cada passo, ele tem $ 60% $ de chance de andar uma unidade para a direita ($ l = +1 $) e $ 40% $ de chance de andar uma unidade para a esquerda ($ l = -1 $). Queremos descobrir qual a probabilidade de ele terminar na posição $ x = 1 $ após os 5 passos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória, especificamente a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a posição final $ x $ está relacionada com os passos dados. Cada vez que o caminhante se move para a direita ($ +1 x ç -1 $), ele retrocede. Se ele der $ r $ passos para a direita e $ l $ passos para a esquerda, a posição final será:
+1
Como o total de passos é 5, temos $ r + l = 5 $. Podemos substituir $ l $ por $ 5 - r $:
-1

Passo 3

Queremos que a posição final seja $ x = 1 $. Então, igualamos a expressão acima a 1 e resolvemos para $ r $:
x = 1
Isso significa que o caminhante precisa dar exatamente 3 passos para a direita e, consequentemente, $ 5 - 3 = 2 $ passos para a esquerda.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de o caminhante dar exatamente 3 passos para a direita em 5 tentativas. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade binomial, que é:
P(r; n, p) = binomnr p^r (1 - p)^n - r
Onde:
  • $ n = 5 $ (total de passos)
  • $ r = 3 $ (passos para a direita)
  • $ p = 0.6 $ (probabilidade de dar um passo para a direita)

Passo 5

Calculando o coeficiente binomial $ \binom{5}{3} $:
binom53
Agora, aplicamos na fórmula:
binom53 = 5!3!(5 - 3)! = 1206 times 2 = 10

Passo 6

Calculando as potências:
(0.6)^3 = 0.216 (0.4)^2 = 0.16
Multiplicando tudo:
P = 10 times 0.216 times 0.16 = 10 times 0.03456 = 0.3456

Resposta

A probabilidade de o caminhante terminar na posição $ x = 1 $ após os 5 passos é de $ 34,56% $.

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