Considere uma variável física que pode assumir os valores 4 e 8 com probabilidades 0,6 e 0,4, respectivamente. Determine a variância
dessa variável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável física que pode assumir dois valores: 4 e 8. A probabilidade de dar 4 é 0,6 e de dar 8 é 0,4. Nosso objetivo aqui é encontrar a variância dessa variável, que a gente representa por ⟨(Δμ)²⟩. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de probabilidade básica e como calcular a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média (ou valor esperado) da variável. A média nos dá uma ideia de qual é o valor “médio” que a variável tende a assumir. A fórmula para a média é:
Aqui, $ x_i $ são os possíveis valores da variável e $ P(x_i) $ é a probabilidade de cada valor.
Passo 3
Aplicando os valores do problema:
Calculando cada parte:
Somando os resultados:
Então, a média da variável é 5,6.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância. A variância mede o quanto os valores da variável se espalham em relação à média. A fórmula para a variância é:
Mas uma forma mais simples de calcular é:
Primeiro, vamos encontrar $ \langle x^2 \rangle $, que é a média dos quadrados dos valores.
Passo 5
Calculando $ \langle x^2 \rangle $:
Calculando cada parte:
Somando os resultados:
Passo 6
Agora, aplicando na fórmula da variância:
Calculando $ (5,6)^2 $:
Subtraindo:
Resposta
A variância da variável é 3,84.