Um caminhante aleatório realiza 12 passos, onde a probabilidade de cada passo ser para a direita é
e para a esquerda é
. Calcule: O valor médio do número de passos para a direita.
b - A variância do número de passos para a direita.
b - A variância do número de passos para a direita.
Passo 1
Beleza, temos um caminhante que vai dar 12 passinhos. A cada passo, ele tem 55% de chance de ir para a direita ($ p = 0,55
q = 0,45 $). Vamos usar alguns conceitos de probabilidade para descobrir duas coisas: o número médio de passos que ele vai dar para a direita e quanta variação pode ter nesse número.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distribuição binomial. Essa é uma maneira de modelar situações onde temos um número fixo de tentativas (nesse caso, 12 passos), cada tentativa tem dois resultados possíveis (direita ou esquerda), e a probabilidade de cada resultado é a mesma em todas as tentativas. Aqui, queremos saber quantos passos ele vai dar para a direita em 12 tentativas com $ p = 0,55 $.
Passo 3
a) Calculando o valor médio (esperança) do número de passos para a direita:
A fórmula para a esperança numa distribuição binomial é:
Onde:
- $ E[X] $ é a esperança ou valor médio.
- $ n $ é o número total de tentativas (12 passos).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,55 para a direita).
Substituindo os valores:
Então, em média, o caminhante vai dar 6,6 passos para a direita.
Passo 4
b) Calculando a variância do número de passos para a direita:
A variância nos diz o quanto os resultados podem variar em relação à média. Para a distribuição binomial, a fórmula é:
Onde:
- $ Var(X) $ é a variância.
- $ q $ é a probabilidade de fracasso em cada tentativa (para a esquerda), ou seja, $ q = 1 - p = 0,45 $.
Substituindo os valores:
Então, a variância do número de passos para a direita é 2,97.
Resposta
a) O valor médio do número de passos para a direita é 6,6 passos.
b) A variância do número de passos para a direita é 2,97.